tr06a

6.5. Metody rozwiązywania równań Reynoldsa smarowania hydrodynamicznego

6.5.1. Metoda analityczna

Niejednorodne liniowe równanie różniczkowe Reynoldsa (6.99) można przetransformować do postaci bezwymiarowej. Wprowadzając do tego równania zależności

x = Q

;

z =

½ L

;

h =

;

	p	(	c R	)²	;
p =	h w				;

h =

h_śr

= 1 ;

(6.128)

otrzymuje się bezwymiarową postać równania Reynoldsa
∂
∂ Q ( h ³ ∂ p
∂ Q ) + ( D
L )² ∂
∂ z ( h ³ ∂ p
∂ z ) = 6 ∂ h
∂ Q (6.129)

gdzie: R - promień czopa w mm, D = 2R- średnica czopa w mm, L - długość łożyska (szerokość panewki) w mm, c - luz promieniowy w mm.

Ponieważ zmiany gradientu ciśnienia są szczególnie duże wokół wartości p_o, dlatego też większą dokładność rozwiązania uzyska się wtedy, gdy rozważane krzywe będą możliwie płaskie w pobliżu p_o.

Pamiętając o tym, że h ma wartość minimalną w pobliżu p_o, można przyjąć dodatkową zależność

(6.130)

Jeżeli oś czopa i panewki są względem siebie równoległe, to h jest jedynie funkcją jednej zmiennej

h = f (Q)

(6.131)

Zatem
(6.132)

skąd
(6.133)

gdzie: a( Q ) oraz b( Q ) oznaczają odpowiednie człony równania (6.132).

Rozwiązanie równania (6.133) można przedstawić w następującej postaci

p (Q, z ) = q (Q, z ) + p (Q )

(6.134)

gdzie: p( Q ) - rozwiązanie łożyska nieskończenie długiego, zaś q( Q, z ) - rozwiązanie części jednorodnej równania (6.132)

∂²q
∂ Q² + ( D
L )² ∂² q
∂ z² - 3
4 h ² [( ∂h
∂ Q ) + 2 h ( 1 - h ) ] q = 0 (6.135)

Przedstawiając q( Q, z ) jako iloczyn dwóch funkcji jednej zmiennej

q (Q, z ) = Q (Q ) Z (z )

równanie (6.135) można przekształcić do postaci
Q''
Q + a (Q ) = - ( D
L )² Z''
Z = l (6.136)

gdzie Q = const.

Stąd wynika układ dwóch równań różniczkowych, przy czym każde z nich jest już równaniem tylko o jednej niewiadomej

Q'' = -

{

4 h³

[(

∂h

∂ Q

)²

+ 2 h ( 1 - h )

]

}

q = 0

(6.137a)

Z '' + ( L
D )² l Z = 0 (6.137b)

Rozwiązanie dwóch ostatnich równań nastręcza jednak jeszcze dużo trudności. Dodatkową komplikację stanowi fakt, że otrzymane rozwiązanie, tzn. poszukiwana funkcja p( Q, z ) i jej pochodne muszą być również całkowalne, ponieważ służą do wyznaczenia odpowiednich wyrażeń na obciążalność, natężenie przepływu i opór tarcia.

6.5.2. Metoda numeryczna

Równanie Reynoldsa można rozwiązać także za pomocą metody numerycznej. Odpowiednie podstawienia sprowadzające je do postaci bezwymiarowej są następujące

x =

;

z =

;

h =

;

p =

h w

(

)²

(6.138)

Po podstawieniu otrzymuje się

∂

∂ x

(

h ³

∂ p

∂ x

)

(

)²

∂

∂ z

(

h ³

∂ p

∂ z

)

= 6 p

∂ h

∂ x

(6.139)

Z rys. 6.43 wynikają następujące przyrosty skończone dla każdego z trzech składników równania

Rys. 6.43. Siatka współrzędnych numerycznego rozwiązywania równania Reynoldsa

(6.140)

Po podstawieniu wyrażeń na przyrosty skończone do równania (6.139) można z niego obliczyć P_ij

(6.141)

Wyrażenie to można przedstawić w postaci ogólnej
p_i,j = a₀ + a₁ p_{i+1, j} + a₂ p_{i-1, j} + a₃ p_{i, j+1} + a₄ p_{i, j-1} (6.142)
gdzie: a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ - dane stale dla każdego punktu siatki.

Ciśnienie p_i,j jest funkcją tych stałych oraz funkcją czterech sąsiednich (w siatce) wartości ciśnienia.

Dla n • m punktów siatki (rys. 6.44) uzyska się n • m równań, które można rozwiązać metodą numeryczną, otrzymując w ten sposób rozkład ciśnienia

p = p(x, z )

(6.143)

6.5.3. Metody analogowe

Metody analogowe są oparte na identyczności równań różniczkowych procesu modelowanego i modelującego. I tak na przykład proces smarowania hydrodynamicznego może być modelowany przez zjawiska jakie zachodzą w kąpieli elektrolitycznej. Wykorzystuje się tu identyczność równania różniczkowego opisującego zależność pomiędzy potencjałem elektrycznym a prądem z jednej strony, a ciśnieniem i przepływem cieczy z drugiej strony. Ogólnie, gęstość przepływu prądu w kierunku dowolnych osi x i z wyraża się następującą zależnością

i_x = H
k ∂ E
∂ x i_z = H
k ∂ E
∂ z (6.144)

gdzie k - rezystywność, H - przekrój przewodnika.

Rys. 6.44. Element elektrolitu o dolnej powierzchni nie przewodzącej prądu

Zgodnie z rys. 6.44, który przedstawia element elektrolitu o dowolnej powierzchni (płaszczyzna x, z) nie przewodzącej prądu, można napisać

I₁ + I₂ - I₃ - I₄ + I_y = i_x d z + i_z d x + ∂
∂ x (i_x d z) d x +

- i_x d z - i_z d x - ∂
∂ z (i_z d x) d z + I_y = 0 (6.145)

Wykorzystując przytoczone uprzednio wyrażenia na gęstość prądu, uzyskuje się

∂
∂ x ( H
k ∂ E
∂x ) + ∂
∂ z ( H
k ∂ E
∂z ) = I_y I
A (6.146)

gdzie: k - rezystywność, H - wysokość elektrolitu, I - prąd płynący przez powierzchnię A elektrolitu.

Równanie (6.146) ma identyczną postać z równaniem Reynoldsa, jeżeli założyć

H
k ≈ h³
η I_y ≈ 6 U d h
d x (6.147)

Równanie (6.146) jest więc analogiem zjawiska smarowania hydrodynamicznego. Jeżeli więc sporządzić kąpiel elektrolityczną, w której spełnione będą powyższe zależności, to potencjał E w dowolnym punkcie elektrolitu będzie odpowiadał ciśnieniu p w łożysku. Dla stałych wartości k oraz h powyższe zależności przyjmują postać

H ≈ h³

I k

≈ 6 η U

d h

d x

(6.148)

Na rys. 6.45 przedstawiono analog, w którym głębokość elektrolitu jest proporcjonalna do h³, zaś prąd w każdym elemencie pola A jest proporcjonalny do 6ηU(d h/d x). Model ten wytwarza potencjały E proporcjonalne do rozkładu ciśnienia istniejącego w łożysku.

Rys. 6.45. Elektryczny analog smarowania hydrodynamicznego z przepływem prądu w elektrolicie;

G - generator,

V - woltomierz,

A-A - regulator natężenia prądu,

E - siła elektromotoryczna

Rys. 6.46. Elektryczny analog smarowania hydrodynamicznego z przepływem prądu w sieci złożonej z oporników

Innym interesującym analogiem smarowania hydrodynamicznego jest sieć elektryczna prądu stałego. Element takiej sieci jest przedstawiony na rys. 6.461 Ciśnienie jest tu symulowane przez napięcie i natężenie przepływu cieczy przez prąd. Opór przepływu jest reprezentowany przez oporniki. Stosując do węzła prawo Kirchhoffa otrzymuje się

I = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ =

E₀ - E₁

R₁

E₀ - E₂

R₂

E₀ - E₃

R₃

E₀ - E₄

R₄

(6.149)

a stąd

Drugi składnik prawej strony równania (6.153) całkowany jest w granicach od 0 do Z,. W zasadzie jest to nieprawdziwe, ponieważ począwszy od punktu E, a więc od punktu θ₂, następuje rozdzielenie warstewki cieczy. Na skutek tego łożysko nie jest pokryte smarem na całej swojej długości L, lecz tylko na długości L' < L. Długość L łatwo można obliczyć ponieważ począwszy od θ₂ gradient ciśnienia jest równy zeru, nie występują więc upływy boczne.

W zakresie od θ₂ do θ₃ stosuje się elementarne równanie ciągłości przepływu

L h₂ =

L' h

(6.154)

gdzie h₂ - grubość warstewki, przy której nastąpiło rozdzielenie przepływu.

Z równania tego można obliczyć

L' =

L h₂

(6.155)

6.5.4. Wyniki analizy smarowania hydrodynamicznego

Wyznaczony na podstawie teorii hydrodynamicznej rozkład ciśnienia p ( θ, z ) jest najważniejszą charakterystyką łożyska ślizgowego. Stanowi on podstawę do obliczenia pozostałych parametrów. W przypadku łożyska ślizgowego z pełną panwią, podstawowymi parametrami są:

e - mimośrodowość względna,

S - liczba Sommerfelda,

q_z - jednostkowe natężenie przepływu w kierunku osi z,

(

) f

- względny współczynnik tarcia,

p₀

p_śr

- stopień spiętrzenia ciśnienia,

j - kąt usytuowania linii działania obciążenia.

Uzyskany za pomocą jednej z podanych metod rozkład ciśnienia p pozwala wyznaczyć odpowiednie wyrażenie na siłę obciążenia (oś θ = 0 pokrywa się z osią y )
(6.156)

skąd
(6.157)

Natężenie przepływu można obliczyć z równania (6.152)

(6.158)

Po uwzględnieniu powyższego równanie na straty tarcia (6.153) przyjmie postać
(6.159)

Charakteryzując prace łożyska ściśle pasowanego o maksymalnej nośności przy znanej grubości warstwy oleju, w tabl. 6.10 podano wartości parametrów, przy których uzyskuje się minimum siły tarcia.

Tablica 6.10. Optymalne warunki pracy łożysk ściśle pasowanych

β, °

120

150

θ °

129,1

92,2

64,3

40,7

19,4

17,5

35,8

55,7

77,7

101,1

α/β

0,58

0,59

0,62

0,65

0,67

h₁/h_min

2,18

2,14

2,08

2,0

1,80

e/h

2,18

2,14

2,31

3,02

5,43

h₀/h_min

1,4

1,48

1,62

1,84

2,13

θ₀, °

150,1

136,4

135,2

142,4

156,9

F, °

56,6

28,4

30,5

W =	h²_min ηLNR

0,00451

0,01685

0,03309

0,04534

0,03924

F =	h_min ηLNR²

0,0407

0,0774

0,1073

0,1284

0,1339

h_min

9,027

4,597

3,242

2,831

0,3413

- łożysko niesmarowane,
- łożysko toczne,
- łożysko hydrostatyczne,
- łożysko hydrodynamiczne, zasilane smarem pod ciśnieniem (ciągła wymiana oleju),
- łożysko hydrodynamiczne samosmarowne (bez obiegu wymiany oleju),
- łożysko porowate.

Krzywe W = W( n ) ograniczają na płaszczyźnie (W, n) obszar bezpiecznej pracy łożyska. Stanowią one granicę, powyżej której zaczynają występować zjawiska uniemożliwiające właściwy przebieg smarowania hydrodynamicznego. Zależności te uwzględniają dodatkowe ograniczenia związane ze smarowaniem rzeczywistych elementów. I tak na rys. 6.47d uwzględniono ograniczenie w zakresie obciążalności, związane z grubością warstwy oleju, a wynikające z istnienia chropowatości współpracujących powierzchni. Tego nie przewiduje klasyczna teoria hydrodynamiczna. Zagięcie krzywej opisuje inne ograniczenie-zmniejszenie obciążalności na skutek wpływu szybkości ścinania na lepkość. Wpływ ten można uwzględnić, wprowadzając do równań założoną funkcję lepkości.

łożysko niesmarowane,
łożysko toczne,
łożysko hydrostatyczne,
łożysko hydrodynamiczne z zasilaniem,
łożysko hydrodynamiczne bez zasilania,
łożysko porowate,
W- obciążenie w N,
n - prędkość obrotowa obr/min,
p - nacisk jednostkowy w Pa,
v - prędkość w m/s,
µ - współczynnik tarcia

Podobne ograniczenia występują w łożysku samosmarownym (rys. 6.47e). Obciążalność jest tu dodatkowo zmniejszona, ponieważ w wytwarzaniu ciśnienia hydrodynamicznego bierze udział jedynie jednorazowo zalana do łożyska porcja oleju. Nie jest ona uzupełniana ciągle w wyniku obiegu oleju jak w przypadku łożyska wg rys. 6.47d. Brak wymiany oleju wpływa także na większe obciążenia cieplne łożyska, dlatego też ograniczenie obciążalności jest spowodowane możliwością odprowadzenia ciepła przez obudowę.

Dla porównania na rys. 6.47a przedstawiono charakterystykę łożyska niesmarowanego, na rys. 6.47b - charakterystykę łożyska tocznego, na rys. 6.47c - charakterystykę łożyska hydrostatycznego, a na rys. 6.47f-charakterystykę łożyska porowatego.

Przykłady ilościowych charakterystyk łożysk poprzecznych i wzdłużnych smarowanych hydrodynamicznie przedstawiono na rys. 6.48 i 6.49. Dla celów

Rys. 6.48. Charakterystyki łożysk poprzecznych smarowanych hydrodynamicznie

porównawczych naniesiono na nie także krzywe dotyczące pozostałych rodzajów łożysk. Rodziny krzywych dotyczące poszczególnych rodzajów łożysk odpowiadają swoim kształtem zależnościom modelowym z rys. 6.47. Wykresy przedstawione na rys. 6.48 i 6.49 wiążą ze sobą wymiary geometryczne, prędkość obrotową i obciążenie łożyska. W przypadku łożysk hydrodynamicznych obowiązują one oczywiście dla ściśle określonych wartości luzu oraz lepkości oleju. Wartości luzu i lepkości odpowiadające przytoczonym charakterystykom naniesiono na rys. 6.50 i 6.51. Ponieważ obciążalność łożyska porowatego zależy od jego porowatości, przytoczono też, dla tego typu łożyska, zakresy jego pracy w zależności od porowatości i sposobu smarowania (rys. 6.52).

Rys. 6.49. Charakterystyki łożysk wzdłużnych smarowanych hydrodynamicznie

Rys. 6.50. Zależność zalecanej orientacyjnie wartości luzu względnego c_d / d łożyska poprzecznego od prędkości obrotowej n czopa

Rys. 6.51. Zależność zalecanej orientacyjnie lepkości dynamicznej η oleju od prędkości obrotowej n czopa

Rys. 6.52. Zakresy pracy łożyska porowatego

6.6. Łożyska poprzeczne i wzdłużne smarowane hydrodynamicznie

6.6.1. Łożyska poprzeczne jednowymiarowe

Jeżeli uczynić założenie, że łożysko jest nieskończenie długie w kierunku osiowym, to wynika z tego brak zmian ciśnienia w kierunku osi z, tzn. dp/dz = 0. Równanie (6.99) przyjmie więc następującą postać

d x

(

h³

d p

d x

) = 6 U

d h

d x

(6.160)

Jeżeli natomiast pominąć przepływ cieczy w kierunku osi x spowodowany gradientami ciśnienia, podobnie jak w krótkich łożyskach (zachowując część przepływu wynikającą ze ścinania), to

∂

∂ x

h³

∂ p

∂ x

= 0

(6.161)

zaś równanie (6.99) przyjmie postać
∂
∂ z h³
η ∂ p
∂ z = 6 U d h
d x (6.162)

Rys. 6.53. Wielkości geometryczne charakteryzujące kształt warstwy cieczy w szczelinie o grubości h

Równania powyższe są określone z wyjątkiem funkcji h. W przypadku łożyska wzdłużnego postać funkcji h jest różna w zależności od kształtu ślizgających się powierzchni. Dla łożysk poprzecznych funkcja ta ma jedną uniwersalną postać. Można ją określić na podstawie rys. 6.53, z którego wynikają następujące zależności

a = arc sin (

sin θ )

b = θ - a

OB = R [1 - (e/R)²]^½ - e cos θ

(6.163)

ponieważ e/R « 1 oraz h = R + c - OB

h = c (1 + cos θ )

Przyjmując x = R θ i zakładając, że η = const, uzyskuje się następującą postać równania
d
d θ h³ d p
d θ = 6 η U R d h
d θ (6.164)

Całkując to równanie względem θ otrzymuje się
d p
d θ = 6 η U R h + C₁
h³ (6.165)

a dla C₁ - h₀
d p
d θ = 6 η U R h - h₀
h³ (6.166)

gdzie h - określone przez równanie (6.133), h₀ - nadal nieznane.

Podstawiając do równania (6.164) wyrażenie na h oraz całkując je względem θ można otrzymać rozkład ciśnienia p określony zależnością

(6.167)

W celu scałkowania powyższego równania Sommerfeld wprowadził pomocniczą zmienną ψ występującą we wzorze

1 + ε cos θ =

1 - ε²

1 - ε cos ψ

(6.168)

z którego wynika
cos θ = cos ψ - ε
1 - ε cos ψ (6.169)

Stosując

sin² θ + cos² θ = 1

można obliczyć
sin θ = (1 - ε²)^½ sin ψ
1 - ε cos ψ (6.170)

Różniczkując wyrażenie na sin θ względem ψ i korzystając z wyrażenia na cos θ (lub odwrotnie) otrzymuje się

d θ =

(1 - ε²)^½ d ψ

1 - ε cos ψ

(6.171)

Wartości graniczne θ = 0 oraz θ = 2π transformują się na takie same dla współrzędnej ψ : stąd warunki brzegowe, tzw. warunki brzegowe Sommerfelda są następujące
p = p_a dla ψ = 0

p (0) = p (2 π) (6.172)

Całkując składniki wyrażenia na rozkład ciśnienia p uzyskuje się
(6.173a)

oraz
(6.173b)

stąd po podstawieniu p ( θ ) Ű p ( ψ )
(6.174)

Korzystając z pierwszego warunku brzegowego można określić

C₂ = p_a

Wykorzystując drugi warunek brzegowy można obliczyć
h₀ = 2 c (1 + ε²)
2 + ε² (6.175)

Po podstawieniu wyrażeń na C₂ i h₀ oraz po transformacji na układ współrzędnych ( R, θ), równanie na rozkład ciśnienia przyjmie następującą postać

p = p_a + 6 η U R ε
c² (2 ε cos θ) sin θ
(2 + ε²)(1 + ε cos θ)² (6.176)

Ciśnienie p_a można obliczyć z warunków istniejących w punkcie B gdzie dane ciśnienie wlotowe p₁ odpowiada określonemu kątowi θ. Jeżeli otwór zasilający znajduje się w punkcie θ₁ = 0, wówczas oczywiście wartość p_a jest równa ciśnieniu wlotowemu p₁.

Równanie (6.176) przewiduje również obszary wysokich ciśnień ujemnych, jak to przedstawiono na rys. 6.54.

Wielkość ujemnych ciśnień zależy zarówno od położenia θ₁, jak i od wartości ciśnienia wlotowego p₁. W każdym jednak przypadku rozkład ciśnienia jest funkcją nieparzystą względem linii θ₁ = π oraz p = p_a

Rys. 6.54. Teoretyczny rozkład ciśnienia w szczelinie łożyska poprzecznego (warunki brzegowe Sommerfelda)

Składową pionową obciążenia można określić przez całkowanie równania na p po powierzchni łożyska

(6.177)

gdzie: φ - kąt usytuowania linii działania obciążenia względem θ = 0, L-długość łożyska.

Całkując przez części uzyskuje się
(6.178)

korzystając z wyrażenia na (d p/d θ) w postaci równania (6.166), otrzymuje się
(6.179)

Wyrażenie to można przedstawić w postaci sumy całek stosowanych do wyznaczenia rozkładu ciśnienia (d p.

Korzystając z tego, że

(6.180)

oraz
(6.181)

równanie na (d W sin (d p (d φ) można sprowadzić do postaci
(6.182)

Jedyną nie wyznaczoną dotąd całką jest ostatnia całka, której wartość wynosi
(6.183)

Stosując transformację zmiennych, jak przy określaniu rozkładu ciśnienia, otrzymuje się

(6.184)

Dla wyznaczenia kąta φ należy określić drugą składową obciążenia W, czyli Wcos φ

(6.185)

Całkując przez części

(6.186)

oraz stosując podstawienie Sommerfelda, otrzymuje się

stąd zaś

W cos φ = 0 (6.187)

a ponieważ W ≠ 0, więc f = ½π.

Wynika stąd, że W sin φ = W całkowitym obciążeniem. Ten nierzeczywisty wynik jest konsekwencją włączenia ciśnień ujemnych do przedziału całkowania, przy obliczaniu obciążalności.

Równanie (6.184) można przedstawić w postaci

S =

η n

p_śr

(

)² =

(2 + ε²)(1 - ε²)^{½
12 π² ε}

(6.188)

gdzie: S - liczba Sommerfelda, n - prędkość obrotowa wału w obr/s, p_śr - średni nacisk jednostkowy w Pa.

Spotyka się też odmienne ujęcie liczby Sommerfelda
S₀ = p_śr
η n ( c
R )² = 1
2 π S (6.188a)

przy czym
p_śr = W
L D = W
L 2R (6.189)

Liczba Sommerfelda jest bardzo wygodnym i pożytecznym parametrem bezwymiarowym, charakteryzującym pracę łożyska. Może być ona przedstawiona, jak widać z równania (6.188), jako funkcja jedynie jednego parametru geometrycznego - mimośrodowości względnej ε.

Naprężenia ścinające na powierzchni czopa są określone przez równanie (6.104). Po wprowadzeniu współrzędnych (R, θ) ma ono postać

τ_x =

η U

d p

d θ

(6.189a)

Siła tarcia działająca na czop jest wyrażona równaniem

(6.190)

Wykorzystując całki wyprowadzonych uprzednio wyrażeń uzyskuje się

T_c = η U L R
c 4 π (1 + 2 ε²)
(2 + ε²)(1 + ε²)^½ (6.191)

Współczynnik tarcia można określić wzorem

µ = T_c
W = c
R 1 + 2 ε²
3 ε (6.192)

Podobnie z równania (6.190) można określić zależność na siłę oporu tarcia na powierzchni panewki

T_p = η U L R
c 4 π (1 - ε²)^½
2 + ε² (6.193)

Różnica momentów czopa i panewki jest równoważona przez moment wytworzony przez siłę W na ramieniu R

R T_c = R T_p + W e

(6.194)

Wyrażenie na siłę tarcia w łożysku z koncentrycznie obracającym się względem panewki czopem nazywa się równaniem Pietrowa. Otrzymuje się je wprost z równania (6.193) przez założenie ε = 0, z czego wynika oczywiście (d p/ d θ) = 0. Równanie Pietrowa ma następującą postać
T_c = 2 π η U L R
c (6.195)

Przedstawiona analiza ze względu na wiele założeń upraszczających daje niestety wyniki ilościowe, które daleko odbiegają od rzeczywistych warunków pracy łożyska. Błędne są one również jakościowo, ponieważ wartość ciśnienia ujemnego nie może być tego samego rzędu co dodatniego, oś wału zaś nigdy nie jest linią prostą.

Główne uproszczenia przedstawionej analizy można wyeliminować przez wprowadzenie bardziej realistycznych warunków brzegowych po stronie ujemnych ciśnień. Wykluczenie nieprawidłowości związanych z ujemnymi ciśnieniami uzyskuje się przy założeniu, że w punkcie, w którym ciśnienie spada do zera (punkt θ₂ na rys. 6.54), gradient ciśnienia również osiągnie zero. Rozkład taki podano na rys. 6.55. Warunki brzegowe w tym przypadku, tzw. warunki brzegowe Reynoldsa, są następujące:

p	= 0	dla	θ = 0
d p d θ	= 0	dla	θ = θ₂
p	= 0	dla	θ = θ₂

Rys. 6.55. Skorygowany rozkład ciśnienia w szczelinie wykluczający istnienie ciśnienia ujemnego (warunki brzegowe Reynoldsa)

Rys. 6.56. Nośność łożyska ślizgowego dla warunków brzegowych Sommerfelda (linia ciągła) i Reynoldsa (linia przerywana)

Porównanie warunków brzegowych Sommerfelda i Reynoldsa przedstawiono na rys. 6.56. Ponieważ równanie (6.160) jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, dlatego też może ono uwzględnić jedynie dwa warunki brzegowe. Można jednak wykazać, że dwa ostatnie warunki brzegowe równania Reynoldsa stanowią szczególny przypadek bardziej ogólnego pojedynczego warunku.

Dwa ostatnie warunki brzegowe dla θ₂ można przedstawić w postaci jednego warunku

p = k

d p

d θ

Całkując równanie Reynoldsa uzyskuje się

(6.196)

Korzystając z podstawień

(6.197)

można dla warunków brzegowych
p = 0 dla θ₁
p = k d p
d θ dla θ₂

wyznaczyć stałe całkowania C₁ i C₂,
C₁ = - J₂ + kg²
J₃ + kg³ C₂ = k g² J₃ - g³ J₂
J₃ + kg³

Wyrażenia na p oraz na (d p/ d θ) przyjmują teraz następującą postać
(6.198a)

(6.198b)

Ponieważ ε < l, J_n > 0 i g > 0, mianowniki wyrażeń nigdy nie znikają, dlatego warunki dla p = 0 i (d p/ d θ) = 0 przy θ = θ₂ są następujące:
dla p = 0 k (g² J₃ - g³ J₂) = 0 albo k g² (J₃ - g J₂) = 0 (6.199a)

dla d p
d θ = 0 k g² (J₂ + k g²) = J₃ + k g³ albo J₃ - g J₂ = 0 (6.199b)

Wynika z tego, że aby p było równe 0 (p = 0 ) musi być spełniony warunek
p = 0 (6.200a)
lub też
(6.200b)

Warunek drugi (równość całek) wynika z przyrównania do zera drugiego czynnika warunku na p, tzn. przy wykorzystaniu przytoczonych podstawień na I_n oraz g.

Z powyższych rozważań wynika, że gdy obowiązuje drugi warunek, tzn. równość całek, zarówno p jak (d p/ d θ) = 0 są równe zeru dla dowolnej wartości k, łącznie z k = 0, co odpowiada dwóm ostatnim warunkom (6.200).

Wykorzystując ponownie podstawienie Sommerfelda oraz korzystając z dwóch pierwszych warunków (6.199) można otrzymać rozkład ciśnienia p

(6.201)

przy czym
cos ψ = ε + cos θ
1 + cos θ (6.202)

gdzie ψ₂ odpowiada θ₂.

Stosując ostatni warunek (6.202) w postaci transformowanej na ψ, tzn. p = 0 przy ψ = ψ₂ uzyskuje się równanie

ε[sin(ψ₂ - p) cos(ψ - p) - ψ₂] + 2[ψ₂cos(ψ₂ - p) - sin(ψ₂ - p)] = 0

(6.203)

Z wyrażenia tego można wyznaczyć ψ₂, a zatem i θ₂.

Równanie (6.203) wraz z określonym z równania (6.202) ψ₂ określa rozkład ciśnienia spełniający warunki brzegowe Reynoldsa.

Analogicznie jak uprzednio można określić składowe obciążenia

		(6.204a)
		(6.204b)

przy czym ψ'₂ = ψ₂ - π oraz całkowite obciążenie
(6.205)

a także
tg φ = - 2 (1 - ε²)^½(sin ψ'₂ - ψ₂ cos ψ'₂)
ε(1 + cos ψ' ₂)² (6.206)

Na tej podstawie można wyznaczyć

(

)

f =

ε sin φ

2 π² S

1 - ε²

(6.207)

Zastosowanie warunków Reynoldsa eliminuje obszar ujemnych ciśnień oraz pozwala przewidzieć usytuowanie osi wału (równanie (6.206)) zgodne z danymi doświadczalnymi. Wyniki obliczeń wykonanych na podstawie równań hydrodynamiki są podawane na ogół w postaci stabelaryzowanej.

6.6.2. Łożysko nieskończenie krótkie

Równanie (6.162) stosuje się, jak już wspomniano, do łożysk nieskończenie długich. Całkując to równanie otrzymuje się następujące wyrażenie

p =

6 η U

h³

d h

d x

z²

+ C₁ z + C₂

(6.208)

Uwzględniając, że dla z = ±½L, p = 0 oraz wprowadzając współrzędne biegunowe, uzyskuje się
p(θ, z) = 3 η U
R c² ( L²
4 - z² ) ε sin θ
(1 + ε cos θ)³ (6.209)

Rozkład ciśnienia jest paraboliczny. Jest to funkcja nieparzysta względem θ = π oraz p = 0. Oznacza to, że obszar występowania ciśnień ujemnych jest taki sam, jak obszar występowania ciśnień dodatnich.

Wykorzystując równanie (6.203) do obliczenia obciążalności łożyska można w pierwszym przybliżeniu ograniczyć całkowania do zakresu 0 ≤ θ ≤ π. Eliminuje to wpływ ciśnienia ujemnego. Wówczas odpowiednie składowe siły reakcji łożyska

(6.210)

Stosując podstawienie Sommerfelda i całkując otrzymuje się

	W_x =	η U L³ c²	ε² (1 - ε²)²
	W_y =	η U L³ 4 c²	π ε (1 - ε²)^3/2	(6.211)

Całkowita obciążalność wynosi

W =

η U L³

4 c²

(1 - ε²)²

[π² (1 - ε²) + 16 ε²]^½

(6.212)

Wyrażenie to można przedstawić następująco
η ω
p ( L
c )² = S ( L
D )² = (1 - ε²)²
π ε [π (1 - ε²) + 16 ε²]^½ (6.213)

Z równania (6.213) wynika, że żadne z występujących tam wyrażeń nie jest jawną funkcją średnicy łożyska D. Wpływ średnicy przejawia się jedynie poprzez zależność ε = ε(c), ponieważ wielkość c jest na ogół funkcją D. Oznacza to, że T(ε, D) = 0.

Z równań (6.211) można wyznaczyć kierunek działania wypadkowej siły reakcji W

tg φ =

(1 - ε²)^½

(6.214)

Ponieważ w rozważanym przypadku nie występują naprężenia ścinające spowodowane przepływem ciśnieniowym, więc naprężenie ścinające wyniesie

τ =

η U

(6.215)

stąd zaś siła tarcia
(6.216)

Podobnie jak poprzednio, można wyznaczyć teraz współczynnik tarcia
µ = c
R 2π² S
(1 - ε²)^½ (6.217)

Korzystając z równania (6.152) na jednostkowe natężenie przepływu q oraz z wyznaczonej zależności na p (6.208) można określić natężenie przepływu

(6.218)

Parametry charakteryzujące punkt, w którym występuje maksimum ciśnienia, można wyznaczyć z równań:
cos θ₀ = 1 - (1 + 24ε²)^½
4 ε (6.219a)

h₀ = c
4 [5 - (1 + 24ε²)^½] (6.219b)

p₀ = 3 η U L
U R c² ε sin θ₀
(1 + εcos θ'₀)³ (6.219c)

Przedstawiony model nieskończenie krótkiego łożyska stanowi dobre przybliżenie umożliwiające szacowanie charakterystyk krótkich łożysk poprzecznych pracujących z niewielką mimośrodowością. Dzięki swojej prostocie i zwartości matematycznego opisu jest on wygodny do analizy problemów hydrodynamicznego smarowania ślizgowych łożysk poprzecznych.

6.6.3. Łożysko z niepełną panwią

Z określenia łożysko z niepełną panwią wynika, że każde łożysko, którego panewka tworzy łuk o kącie środkowym mniejszym niż 2π jest zaliczane do tej grupy. W praktyce jednak łożyska takie mają najczęściej panewki o kącie mniejszym niż π. Analizę pracy łożyska z niepełną panwią można przeprowadzić na podstawie rys. 6.57.

U - prędkość obwodowa,

b' - zmienna wartość kąta, przy której występuje dodatnia wartość ciśnienia oleju

Rozważania matematyczne są tu nieco bardziej skomplikowane niż poprzednio ze względu na istnienie dwóch dodatkowych zmiennych niezależnych: kąta przyłożenia obciążenia a oraz kąta łuku panewki b. Uproszczone rozwiązanie tego problemu oparte na schemacie zaproponowanym przez Sommerfelda jest podobne do przytoczonego uprzednio rozwiązania dla łożyska o pełnej panwi. Łożysko to zawiera także obszary podciśnienia. Na podstawie zależności (6.160) i następujących warunków brzegowych
p = p₁ dla θ = θ₁
p = d p
d θ = 0 dla θ = θ₂
p ≥ 0 dla θ₁ < θ < θ₂
p = 0 dla θ > θ₂

można uzyskać dla rozpatrywanego łożyska o niepełnej panwi rozwiązanie bardziej dokładne. Pomimo że metoda rozwiązania i uzyskane równania są podobne do rozważań przeprowadzonych dla łożyska o pełnej panwi, to jednak obliczenia towarzyszące tym operacjom są wyjątkowo żmudne i pracochłonne. Z tego też powodu wyniki są zazwyczaj podawane w formie graficznej.

Całkując równanie (6.160) przy zachowaniu nieokreślonych granic całkowania uzyskuje się

(6.220)

Po zastosowaniu podstawień Sommerfelda oraz po ponownym całkowaniu otrzymuje się
(6.221)

gdzie ψ - pomocnicza zmienna w podstawieniu Sommerfelda, h₀ - wartość wyznaczana z warunków granicznych dla θ₂.

Wyniki całkowania równania (6.220) przedstawiono na rys. 6.58 oraz 6.59. Na rysunkach tych podano punkty reprezentujące maksymalną obciążalność łożyska. Cyfry umieszczone wzdłuż krzywych oznaczają odpowiednie wartości kąta θ. Przedstawiają one charakterystyki pracy łożysk z niepełną panwią w zależności od

Rys. 6.59. Zależność względnej wartości współczynnika tarcia od kąta przyłożenia obciążenia a dla łożyska z niepełną panwią

kąta przyłożenia obciążeń a . Równania te wykluczają istnienie obszaru podciśnienia.

Ponieważ punkty na rys. 6.58 odpowiadają maksymalnej obciążalności, dlatego dla danego S i kąta łuku panewki b przy założeniu, że b = b ' można określić optymalny kąt przyłożenia obciążenia a . Jeżeli b > b ' to oczywiście obciążalność łożyska nie zmieni się, ponieważ w warunkach granicznych założono p = 0 dla θ > θ₂. Wzrosną natomiast w takim przypadku opory tarcia o wartość wynikającą z łuku b - b ' ponieważ do ich występowania nie jest konieczne istnienie naprężeń normalnych p. Jeżeli b = 2a , wówczas łożysko jest obciążone symetrycznie.

Na rysunku 6.59 pokazano zależność względnego współczynnika tarcia (R/c) od kąta przyłożenia obciążenia. Parametrami krzywych są tu b oraz ε.

6.6.4. Łożysko ściśle pasowane

Łożysko, w którym średnice czopa i panewki są równe, nazywane jest łożyskiem ściśle pasowanym. Przykład takiego typu łożyska przedstawiono na rys. 6.60. Oczywiście w przypadku tym, jak wynika z definicji, nie występuje rozważany w każdym z po-

Rys. 6.60. Łożysko ściśle pasowane

przednich rodzajów łożysk luz promieniowy c; zatem c = 0. Wynika stąd, że równanie (6.163), przepisane dla tego przypadku, przyjmuje następującą postać
h = e cos θ (6.222)

Obracając dla wygody całkowania 0 o 90° w kierunku obrotu czopa, w położenie podane na rys. 6.60a, otrzymuje się przekształcone wyrażenie na h

h = e sin θ

(6.223)

Korzystając z tej postaci oraz podstawiając do równania (6.166) h₀ = sin θ₀, otrzymuje się zależność na rozkład ciśnienia w łożysku ściśle pasowanym
(6.224)

Na podstawie warunków granicznych p(θ₁ = p(θ₂) = 0 można określić sin θ₀ oraz C₁, korzystając zaś ze znanych wyrażeń ogólnych można wyznaczyć obciążalność i siłę tarcia.

Charakterystyczne parametry trybologiczne opisujące pracę łożyska przy maksymalnym obciążeniu i minimalnej grubości warstwy oleju, są następujące:

- parametr obciążalności

h²_min

η L n R³

(6.225a)

- parametr oporu tarcia

h_min

η L n R²

(6.225b)

- względny współczynnik tarcia

h_min

(6.225c)

6.6.5. Łożysko z pływającym pierścieniem

Łożysko, do którego wprowadzono dodatkowo między czop a panewkę cienki, swobodnie poruszający się pierścień, nazywane jest łożyskiem z pływającym pierścieniem (rys. 6.61). Wprowadzenie pierścienia powoduje zmniejszenie strat ścinania w cieczy

n- prędkość obrotowa czopa,
n_p - prędkość obrotowa pierścienia

przez zmniejszenie względnych prędkości współpracujących powierzchni. Ponieważ straty te rosną z kwadratem prędkości, ale są tylko liniowo zależne od pola powierzchni, dlatego też zastosowanie pierścienia przy nie zmienionych pozostałych parametrach powoduje znaczne ich obniżenie.

Z rys. 6.61 wynika, że warunek równowagi dynamicznej dla pierścienia będzie spełniony wtedy, gdy suma obydwu momentów M₁ i M₂, działających ze strony cieszy na pierścień będzie równa zeru. Do obliczenia sił oporu tarcia T_c działających na zewnętrzną i wewnętrzną powierzchnię pierścienia, można wykorzystać równania służące do obliczenia tych wartości dla czopa.

Rozpatrywane łożysko można uważać za układ złożony z dwóch łożysk. Pierścień i czop tworzą przy tym założeniu jedno łożysko, zaś panewka i pierścień - drugie łożysko.

Siłę oporów tarcia można wyrazić zależnością

(6.226)

Mnożąc licznik i mianownik drugiego członu przez (R/c)•(1/ε) oraz wykorzystując wyrażenie na W sin φ, uzyskuje się
T_c = 2 πη U L R
c (1 - ε²)^½ - ε c
2 R W sin φ (6.227)

Podobnie można obliczyć

T_c =

2 πη U L R

c (1 - ε²)^½

ε c

2 R

W sin φ

(6.228)

Na tej podstawie można określić obydwa poszukiwane momenty
M₁ = ε₁c₁
2 R W sin φ₁ + 4 π²η L R₂² (R₁n - R₂ n p)
c₁ (1 - ε₁²)^½ (6.229)
M₂ = ε₁c₂
2 R W sin φ₁ + 4 π²η L R₃³ n p
c₁ (1 - ε₂²)^½

gdzie: ε - mimośrodowość względna czopa i pierścienia, ε₂ - mimośrodowość względna pierścienia i panewki. c₁ - luz promieniowy między czopem a pierścieniem, c₂ - luz promieniowy między pierścieniem a panewką, φ₁ - kąt usytuowania linii działania obciążenia w wewnętrznej przestrzeni pierścienia, φ₂ - kąt usytuowania linii działania obciążenia w zewnętrznej przestrzeni pierścienia, n - prędkość obrotowa czopa, n_p - prędkość obrotowa pierścienia, pozostałe oznaczenia wg rysunku.

Łożysko, którego czop i panewka obracają się w jednym kierunku, można zastąpić równoważnym łożyskiem, w którym czop obraca się z prędkością równą sumie prędkości rzeczywistego czopa i panewki. Pamiętając o tym można dla każdego z wydzielonych abstrakcyjnie dwóch łożysk napisać równanie na liczbę Sommerfelda

(6.230)

Na podstawie przytoczonych równań można wyznaczyć całkowite straty mocy H w łożysku z pływającym pierścieniem

(6.231)

gdzie: U - prędkość obwodowa czopa. U_p - prędkość obwodowa panewki.

Na rys. 6.62 przedstawiono zaleźność stosunku prędkości obrotowej pierścienia i czopa od stosunku luzów występujących w łożysku z pływającym pierścieniem.

Rys. 6.62. Zależność poślizgu pierścienia względem czopa n_p/n od stosunku luzów promieniowych C₂/C₁ w łożysku z pływającym pierścieniem

Porównania dwóch równoważnych łożysk ślizgowych: łożyska tradycyjnego (bez pierścienia) i łożyska z pierścieniem pływającym można dokonać przy założeniu

n_t = n

c_t = c₁

R_t = R₁

Indeks t oznacza łożysko tradycyjne, zaś brak indeksu - łożysko z pływającym pierścieniem.

Przyjmując za kryterium porównania łożysk grubość warstwy oleju powstającej na zewnątrz pierścienia, które jest warunkiem bardziej rygorystycznym niż grubość warstwy wewnątrz pierścienia, można stwierdzić, że przy (S_t/S_p) > 1 ??? sprawdź, chyba błąd łożysko z pływającym pierścieniem ma mniejszą obciążalność, a przy (S_t/S_p > 1 - większą obciążalność. Straty mocy są w obydwu przypadkach mniejsze niż w łożysku tradycyjnym.

6.6.6. Łożysko porowate

Łożysko z panewką wykonaną z materiału porowatego jest nazywane łożyskiem porowatym. W panewce takiej olej wypływa z jej powierzchni z pewną prędkością v₀. Jeżeli przez q_y oznaczyć natężenie przepływu przypadające na jednostkę powierzchni, wówczas

q_y = -

∂ p

∂ y

│
│
│

y = 0

(6.232)

gdzie: (∂ p/∂ g ) gradient ciśnienia na powierzchni panewki, Φ tzw. przepuszczalność, czyli właściwość materiału panewki zależna od porowatości i rozmiarów porów w m².

Warunek ciągłości przepływu dla panewki ma następującą postać

Ń p =

Ń² p = 0

(6.233)

gdzie: - Ń operator Hamiltona : (∂/∂ x) + (∂/∂ y) + (∂/∂ z), Ń² - operator Laplace'a : (∂²/∂ x²) + (∂²/∂ y²) + (∂²/∂ z²)

Ponieważ - (Φ/η ≠ 0, więc Ń² p = 0.

Oprócz warunku Ń² p = 0 musi być słuszne także w takim przypadku równanie Reynoldsa. Dlatego też zagadnienie sprowadza się do rozwiązania układu dwóch równań różniczkowych. Kładąc w równaniu Reynoldsa wyznaczone wyrażenie na V₀ uzyskuje się

		(6.234a)
		(6.234b)

Układ ten można rozwiązać przy następujących założeniach:

1) łożysko jest nieskończenie krótkie,

2) gradient (∂/∂ y) jest liniowy w całej grubości warstwy porowatej i przyjmuje wartość równą 0 na wewnętrznej powierzchni warstwy porowatej.

Z założenia 1 wynika, że (∂²/∂ x²) = 0, zaś z założenia 2 wynika (∂²/∂ y²) = const = K.

Po uwzględnieniu tych założeń równanie Laplace'a daje

∂² p

∂ z²

= - K

(6.235)

natomiast po scałkowaniu wyrażenia
(6.236)

gdzie H - grubość warstwy porowatej.

Podstawiając wyznaczone wyrażenia do równania (6.234) i uwzględniając przy tym, że (∂/∂ x) [(h³/η ) (∂ p/∂ x) = 0 uzyskuje się

(h³ + 12 Φ H)

∂² p

∂ z²

= 6 U η

∂ h

∂ x

(6.237)

Stąd wynika
(6.238)

Równanie to po scałkowaniu, dla θ = π, ma postać

(6.239)

gdzie k³ = 12 (Φ H/c³)

Na rys. 6.63 przedstawiono porównanie obciążalności łożyska porowatego, obliczonej wg równania (6.222), z obciążalnością tradycyjnego nieskończenie krótkiego łożyska poprzecznego, obliczoną wg równania (6.212).

e = e/c,
F H/c³ -parametr konstrukcji (bezwymiarowy),
c - luz promieniowy w m,
F - przepuszczalność w m²,
H - grubość warstwy porowatej w m,
W - stosunek obciążalności łożyska porowatego i tradycyjnego

Na osi rzędnych odłożono stosunek tych zależności
W = obciążalność łożyska porowatego
obciążalność łożyska tradycyjnego

Analogicznie jak poprzednio można wyznaczyć względny współczynnik tarcia
R
c f = 2 π² S
Ω 1
(1 - ε)^½ + ε
2 sin φ (6.240)

Rys. 6.64. Zależność względnego wspólczynnika tarcia od liczby Sommerfelda;
A - krzywa dla klasycznego łożyska współśrodkowego (równanie Pietrowa),
B - krzywa dla klasycznego łożyska niewspółśrodkowego

Na rys. 6.64 przedstawiono wartość względnego współczynnika tarcia dla różnych wartości Ω . Krzywa o wartości Ω = l odpowiada, zgodnie z definicją Ω, łożysku klasycznemu. Dla porównania umieszczono tam także krzywą A opracowaną na podstawie równania Pietrowa, a więc słuszną dla łożyska współśrodkowego.

6.6.7. Łożyska wzdłużne jednowymiarowe

Analiza łożysk wzdłużnych jest nieco łatwiejsza niż analogiczna analiza łożysk poprzecznych. Wyrażenia na grubość warstwy cieczy są tu o wiele prostsze. Warunki brzegowe są także w tym przypadku mniej skomplikowane, nie występuje też problem ciśnienia ujemnego. Ciśnienia na wejściu i wyjściu mają zazwyczaj wartość ciśnienia atmosferycznego.

Rayleigh uzyskał kilka rozwiązań dla łożyska wzdłużnego jednowymiarowego, a także wyprowadził wyrażenia określające optymalny kształt warstewki cieczy i wymiary łożyska. Wyniki te odbiegają od rzeczywistości, jednakże i w tym przypadku wiele parametrów bezwymiarowych oraz wniosków jakościowych wysnutych z analizy jednowymiarowego łożyska obowiązują również dla rozwiązań dokładniejszych.

Rys. 6.65. Schemat łożyska wzdłużnego

Typowy przykład łożyska wzdłużnego przedstawiono na rys. 6.65. Segmenty, z których składa się takie łożysko, mogą mieć różne kształty. Stosując klasyczny układ współrzędnych otrzyma się

d p

d x

-6 η U =

h - h₀

h³

(6.241)

Znak minus oznacza, że wektor prędkości U ma zwrot przeciwny do x.

Po scałkowaniu otrzymuje się

(6.242)

przy czym
p( h₁) = p( h₂) = 0 (6.243)

Całkując przez części wyrażenie na obciążalność uzyskuje się

lub		(6.244a)
		(6.244b)

Korzystając z twierdzenia o średniej całkowej można wyznaczyć wartość x, która dzieli rozkład ciśnienia na dwie części o równych sobie polach pod krzywą p
(6.245)

Wyrażenie na naprężenia ścinające wynika z równania (6.215)
τ = η U
h + h
2 d p
d x (6.246)

Stosując zaś zależność na (d p/d x) otrzymuje się naprężenia ścinające
τ = η U 4 h - 3 h₀
h² (6.246)

oraz silę tarcia
(6.247)

Przytoczone wyżej równania mogą zostać wykorzystane do analizy łożysk o różnych kształtach warstwy oleju.
Rys. 6.66. Modele geometryczne do analizy smarowania hydrodynamicznego

Na rys. 6.66 przedstawiono przykłady podstawowych kształtów geometrycznych łożysk, dla których przeprowadzono analizę wg przytoczonej zasady.

Łożysko z płaskim i ściętym ślizgaczem Grubość warstwy cieczy dana jest równaniem

h = α x =

h₂(a - 1)

(6.248)

przy czym a = h₁/h₂

gdzie: h₁, h₂ - grubość warstwy oleju w punkcie początkowym i końcowym klina smarnego.

Całkując równanie (6.241) w granicach od x₁ = h₁/a do x₂ = h₂/a uzyskuje się wyrażenie na rozkład ciścienia p

(6.249)

skąd
h₀ = 2 h₁h₂
h₁ + h₂ = 2 a
1 + a h₂ (6.250)

Z równań (6.244) do (6.248) można wyznaczyć

		(6.251a)
		(6.251b)
		(6.251c)

Wartości bezwymiarowych współczynników C_p oraz funkcji s przedstawiono na rys. 6.67.
Rys. 6.67. Wartości bezwymiarowych współczynników charakteryzujących zmianę obciążalności C_p oraz siły tarcia C_f dla łożyska ze ściętym płaskim ślizgiem

Rys. 6.68. Model łożyska Rayleigha

Łożysko Rayleigha. Na rys. 6.68 przedstawiono przykład płaszczyzny przemieszczającej się względem płytki z występem. Konfiguracja ta tworzy tzw. łożysko Rayleigha. Jeżeli w równaniu (6.248) podstawić h = const i założyć warunki izotermiczne, wówczas ciśnienie przewidywane przez teorię hydrodynamiczną będzie równe zeru. Oznacza to, że łożysko o stałej grubości warstwy cieczy nie ma żadnej obciążalności. Jednakże w przypadku, gdy w płytce istnieje wycięcie (rys. 6.69), wówczas w łożysku powstają siły hydrodynamiczne.

1 - łożysko,
2 - wał

Odpowiednie wyrażenia opisujące grubość warstwy cieczy mają wtedy następującą postać: h = h ₁ w obszarze B₁, h = h₂ w obszarze B₂, (rys. 6.68).

Całkując równanie (6.242) przy założeniu h = const uzyskuje się

P = 6 η U

n₀ - h

h³

x + C

(6.252)

Podstawiając p = 0 dla x = 0 oraz p = p_c dla x = B₁, gdzie p_c jest ciśnieniem w miejscu istnienia występu, otrzymuje się
C₁ = 0 oraz p_c = 6 η U h₁ - h₀
h₁³ B₁ (6.253)

Podobnie dla obszaru B₂
C₁ = 0 oraz p_c = 6 η U h₀ - h₂
h₂³ B₂ (6.254)

Ponieważ wartości p_c są takie same w punkcie x = B₁ dla obydwu obszarów, można więc je przyrównać

h₁ - h₀

h₁³

B₁

h₀ - h₂

h₂³

B₂

(6.255)

skąd można wyznaczyć
h₀ = h₁ h₂(B₁ h₂² + B₂ h₁²)
B₁ h₂³+ B₂ h₁³ (6.256)

Dla obszaru B₁ rozkład ciśnienia jest zatem następujący

p( x ) =

6 η U

h₁²

[

1 -

h₂(B₁ h₂² + B₂ h₁²)

B₁ h₂³+ B₂ h₁³

]

(6.257a)

dla obszaru B₂
p( x ) = 6 η U
h₂² [ h₁(B₁ h₂² + B₂ h₁²)
B₁ h₂³+ B₂ h₁³ - 1 ] x (6.257b)

Oczywiście dla h ₁ = h ₂, lub B ₁ = 0 albo też B ₂ = 0 ciśnienie przyjmuje wartość p = 0.

Obciążalność rozważanego łożyska jest określona zależnością

(6.258)

Rayleigh badając omawiany zarys doszedł do wniosku, że stwarza on optymalne warunki do powstawania warstwy smaru o maksymalnej obciążalności. Wniosek ten wykorzystano do skonstruowania łożyska poprzecznego z występami zwanymi od nazwiska wynalazcy - progami Rayleigha (rys. 6.69). Kształt ślizgacza z występem jest także optymalny.

Łożysko z wahliwą płytką. W odróżnieniu od elementów łożysk wzdłużnych przemieszczających się ruchem postępowym przedstawione na rys. 6.70

Rys. 6.70. Łożysko z wahliwą płytką

łożysko składa się z płaszczyzny przemieszczającej się względem przegubowo zamocowanej płytki. Zamocowanie takie umożliwia zgodnie z zasadą Le Chateliera-Brauna optymalne ustawienie położenia płytki tak, aby obciążalność była w danych warunkach maksymalna. Wprowadzone dla łożyska ze ściętym płaskim ślizgaczem zależności znajdują zastosowanie także i w tym przypadku. Ponieważ płytka jest podparta przegubowo, siła jest przenoszona przez punkt podparcia. Wynika stąd, że dla uzyskania swobodnego położenia płytki, punkt ten powinien być położony w odległości x obliczonej z równania (6.251b)
(6.259)

Wartość x jest oczywiście ściśle związana z wartościami h₁ i h₂. Dla danego położenia płytki należy obliczyć wartość W ustalić zależność W = f(a , x ). Funkcja ta jest zwykle podawana w formie graficznej.

Omówione wyżej zjawiska znalazły zastosowanie w łożyskach poprzecznych z wahliwymi płytkami panwiowymi. Schemat rozwiązania konstrukcyjnego takiego łożyska przedstawiono na rys. 6.71.

1 - stała obudowa,
2 - wał

6.7. Smarowanie hydrostatyczne

Smarowanie hydrostatyczne jest to rodzaj smarowania polegający na tworzeniu między współpracującymi powierzchniami warstwy cieczy, w której występuje statyczne ciśnienie, powstające na skutek ciągłej cyrkulacji cieczy podtrzymywanej przez źródło ciśnienia, równoważące zewnętrzne obciążenie przy całkowitym oddzieleniu od siebie współpracujących powierzchni.

6.7.1. Zasada smarowania hydrostatycznego

Ideę smarowania hydrostatycznego zademonstrowano po raz pierwszy na Paryskiej Wystawie Przemysłowej w 1878 r. Wystawiono tam pozornie bezużyteczny eksponat o nazwie „Le Chemin de fer de glace” (kolej na lodzie). Była to bryła metalu wsparta na czterech podporach, zakończonych płaskimi, lekkimi, wklęsłymi stopami. Stopy te spoczywały na gładkim metalowym podłożu. Przez otwory w podporach tłoczony był olej, który wypływał pod stopami tak, że cała bryła unosiła się lekko i pływała na utworzonej w ten sposób warstwie cieszy. Opory tarcia między stopami a podłożem były bardzo małe w porównaniu z oporami tarcia suchego. Ciężka bryła metalu przesuwała się z dużą łatwością.

Opisany pierwowzór łożyska ślizgowego smarowanego hydrostatycznie dał początek serii prac, które doprowadziły do sformułowania zasad jego zastosowania we współczesnych urządzeniach i maszynach. Zjawisko smarowania hydrostatycznego jest wykorzystywane obecnie w najróżnorodniejszych rozwiązaniach konstrukcyjnych dzięki temu, że:

- grubość warstwy smarującej zależy w niewielkim stopniu od obciążenia,

- obciążalność łożyska zależy w niewielkim stopniu od prędkości względnej trących powierzchni,

- opory tarcia są znikomo małe.

Smarowanie to zapewnia dużą dowolność w wyborze rozwiązania konstrukcyjnego. Jego unikalną zaletą jest to, że opory tarcia są bardzo małe także przy rozruchu nieruchomych współpracujących elementów urządzeń. Na rys. 6.72 przedstawiono schematycznie przykłady wykorzystania smarowania hydrostatycznego do łożyskowania elementów obciążonych siłami o kierunku osiowym (rys. 6.72a), promieniowym (rys. 6.72b) oraz ukośnym rys. 72c).

osiowym,
pionowym,
ukośnym;

-stożek,
- czasza kulista

Zasada smarowania hydrostatycznego znalazła powszechne zastosowanie w łożyskowaniu wielu elementów maszyn. Wykorzystuje się ją między innymi w następujących przypadkach:

- w łożyskach wzdłużnych (rys. 6.73),

- tuleja prowadząca,
- łożysko stopowe

Rys. 6.74. Schemat zastosowanej poduszki hydrostatycznej do podnoszenia wału

- do podnoszenia wałów ciężkich maszyn wirnikowych, w celu zmniejszenia tarcia przy ich rozruchu (rys. 6.74),

- w łożyskach ślizgowych poprzecznych, gdy prędkość obrotowa wału jest za mała do wytworzenia dostatecznej warstwy cieczy,

- w prowadnicach, w celu zmniejszenia tarcia elementów poruszających się ruchem prostoliniowym (rys. 6.75),

- w urządzeniach do badania łożysk ślizgowych, w celu zredukowania oporów tarcia powierzchni podpierających (rys. 6.76),

- stół,
- łoże

Rys. 6.76. Smarowanie hydrostatyczne w urządzeniu do badania łożysk ślizgowych;
- wał,
- uchwyt,
- łożysko,
- obie powierzchnie nakrywają się,
- warianty płytek panwiowych,
- ramię,
- waga,
- wgłębienia,
- wgłębienia,
- klocek dociskowy,
- płytka panwiowa

Rys. 6.77. Schematy poprzecznego łożyska ślizgowego smarowanego hydrostatycznie

- w celu zamortyzowania ruchów współpracujących ze sobą wszelkiego rodzaju płyt, oddzielonych lepką cieczą,

w celu utrzymania zadanego luzu między powierzchniami.

We wszystkich wymienionych przykładach warstwa cieczy, która oddziela współpracujące elementy maszyn czy urządzeń utrzymywana jest w wyniku ciągłego doprowadzania smaru z zewnątrz pod pewnym ciśnieniem. Na rys. 6.77 przedstawiono schemat działania typowego poprzecznego łożyska ślizgowego smarowanego hydrostatycznie.

Ciecz doprowadzana w obszar tarcia przez otwory wlotowe R_w (rys. 6.78) pod ciśnieniem pompy p_z wypływa przez szczeliny R₁, R₂. Szczeliny te istnieją

Rys. 6.78. Analog elektryczny poprzecznego łożyska ślizgowego smarowanego hydrostatycznie przedstawiający zależność obciążenia od średnicy czopa i wartości ciśnienia na wlocie do łożyska; R_ex - regulowane wartości oporów

między powierzchniami czopa i panewki. Ciśnienie cieczy może być regulowane na zewnątrz lub też kompensowane wewnątrz łożyska. W przypadku współśrodkowego ustawienia czopa i panewki, tzn. gdy luzy h₁= h₂, ciśnienia p₁ i p₂. odpowiednio w górnej i dolnej części łożyska są równe. Na czop nie działa siła wypadkowa (jeśli pominąć ciężar wału). Jeżeli na skutek działania obciążenia zewnętrznego wał zostanie wytrącony z położenia równowagi, to zwiększy się luz h₁ i zmniejszy się luz h₂. Zmiana taka spowoduje zmianę wymiarów szczelin wypływowych R₁, R₂ Nastąpi wzrost oporów przepływu w części dolnej i spadek oporów przepływu w części górnej łożyska. Ponieważ zmiana oporów przepływu wpływa na wartość ciśnienia, dlatego też wzrośnie ciśnienie p₂ i zmniejszy się ciśnienie p₁. Wielkość powstającej w ten sposób siły wypadkowej, przeciwdziałającej wychyleniu wału, jest proporcjonalna do pola zakreskowanego obszaru na wykresie ciśnień.

W łożysku hydrostatycznym straty tarcia są znikomo małe. Istnieją rozwiązania konstrukcyjne, które charakteryzują się małymi współczynnikami tarcia. I tak np. hydrostatyczne smarowanie słynnego, o masie 450 t teleskopu na górze Mount Palomor umożliwiło zredukowanie współczynnika tarcia do wartości 0,000004. Jednakże całkowita moc potrzebna do zapewnienia pracy układów smarowania hydrostatycznego jest stosunkowo duża. Wynika to z konieczności utrzymania odpowiedniego ciśnienia cieczy. Dlatego też prawidłowo zaprojektowany układ smarowania wymaga optymalizacji zasilania i obciążalności. Na rys. 6.79 przedstawiono przykłady zależności strat mocy od grubości warstwy cieczy dla łożyska turbo-prądnicy.

Rys. 6.79. Zależność strat tarcia i tłoczenia cieczy w łożysku stopowym

Z rysunku wynika, że zmniejszenie strat tarcia odbywa się wskutek wzrostu strat tłoczenia.

6.7.2. Łożysko ślizgowe poprzeczne

Rozkład ciśnienia w hydrostatycznym łożysku poprzecznym można wyznaczyć z równania Reynoldsa. W przypadku nieruchomego czopa, tzn. gdy V = 0, równanie (6.94) przyjmie następującą postać

∂

∂ x

(

h³

∂ p

∂ x

)

∂

∂ z

(

h³

∂ p

∂ z

)

= 0

(6.260)

lub też, uwzględniając h = h( x ), otrzyma się
∂² p
∂ z² + ∂² p
∂ x² + 3
h ∂ h
∂ x ∂ p
∂ x = 0 (6.261)

Podstawiająca h = c(1 - cos θ ) uzyskuje się
3
h ∂ h
∂ x =
3 e sin ( x
R )

R c [ 1 - ε cos ( x
R ) ]
(6.262)

Warunki brzegowe są następujące:
p = p₀ dla z = ±½ L
p = p_w( x ) dla z = 0

gdzie: p₀ - ciśnienie otoczenia w Pa, p_w - ciśnienie cieczy na wlocie do łożyska w Pa.

Natężenie przepływu przypadające na jednostkę długości obwodu można wyznaczyć z równania

q_w = 2

[

h³

12 η

(

∂ p

∂ z

)

]

(6.263)

Jeżeli ciecz jest dostarczana do łożyska przez przewody zasilające, w których przepływ jest laminarny, to spadek ciśnienia w przewodzie jest następujący

p_z - p_w =

8 η Q L

π a⁴

(6.264)

gdzie: p_z -ciśnienie zasilania w Pa, L - długość przewodu zasilającego w m, a - średnica przewodu zasilającego w m.

Jeżeli oznaczy się przez N liczbę przewodów zasilających, to liczba doprowadzeń przypadających na jednostkę długości obwodu wynosi n = [N/(2 π R)]. Równanie (6.263) przyjmie przy tych założeniach postać

q_w=

π a⁴ n

8 η L

( p_z - p_w )

(6.265)

Stosując warunek ciągłości strugi na wejściu do łożyska, uzyskuje się
q_w= π a⁴ n
8 η L ( p_z - p_w ) = h³
6 η ( ∂ p
∂ z ) w (6.266)

Podstawiając do równania (6.266) wyrażenie na grubość warstwy cieczy otrzymuje się warunek brzegowy na wlocie do łożyska

( ∂ p
∂ z ) w = -
3 π a⁴ n (p_z - p_w )
4 c³ L [ 1 - ε cos ( x
R ) ] 3
(6.267)

Ponieważ (∂ p/∂ x) → 0 gdy ε → 0, więc - jest tego samego rzędu co ε. Oznacza to, że wyrażenie
b
h = ∂ h
∂ x ∂ p
∂ x

jest rzędu ε² dla ε « 1.

Równanie (6.260) przyjmuje więc dla ε « l postać

∂² p

∂ z²

∂² p

∂ x²

= 0

(6.268)

Funkcję ciśnienia można przedstawić w postaci iloczynu dwóch funkcji jednej zmiennej
p(x, z) = X(x) Z(z) (6.269)

z podstawienia tego uzyskuje się dwa zwykłe równania różniczkowe
∂² X
∂ x² + K² X = 0 ; ∂² Z
∂ z² - K² Z = 0 (6.270)

gdzie K jest stałą.

Zatem funkcja ciśnienia

(6.271)

W rozwiązaniu pominięto wyrażenie sin ( j x/R), albowiem funkcja p(x, z) ma być z założenia parzysta.

Ponieważ εcos(x/R) « 1 , dlatego można do równania (6.270) zastosować rozwinięcie dwumianowe

(6.272)

Po pominięciu składników drugiego i wyższych rzędów ze względu na ε warunek graniczny (6.267) przyjmie postać
( ∂ p
∂ z ) w = - Λ_L ( 1 + 3 ε cos x
R ) ( p_z - p_w ) (6.273)

przy czym
Λ_L = 3 π a⁴ n
4 c³ L

Wprowadzając do równania (6.271) warunki brzegowe można wyznaczyć stałe

C₂ = -

C₁ L

B_j = - A_je^{j (L/R)}

Po podstawieniu stałych funkcji p( x, z ) przyjmie postać
(6.274)

skąd
(6.275)

Po podstawieniu równań (6.275) do równania (6.273) uzyskuje się
(6.276)

skąd pomijając składniki wyższego rzędu ze względu na ε i A₂, A₃ … A_joraz przyrównując tożsamościowe obie strony równania (6.276), otrzymuje się
(6.277)

Po podstawieniu wyznaczonych stałych do równania (6.274) można otrzymać poszukiwany rozkład ciśnienia dla ε « 1
(6.278)

Obciążalność łożyska jest określona ogólną zależnością
(6.279)

Korzystając z wyznaczonego rozkładu ciśnienia można przeprowadzić całkowanie tego wyrażenia
(6.280)

oraz obliczyć nacisk jednostkowy
(6.281)

Moc pompy potrzebna do doprowadzenia cieczy przez przewody zasilające do zasilania łożyska wynosi
(6.282)

Gradient ciśnienia na wlocie łożyska można wyznaczyć z równania (6.275) po podstawieniu stałych określonych zależnością (6.277)
(6.283)

Wyrażenie na grubość warstwy cieczy można rozwinąć następująco

h³ = c³ (1 - ε cos θ)³ = c³ (1 - 3 ε cos θ + …)

(6.284)

Po podstawieniu obydwu ostatnich zależności do równania (6.282) na N, scałkowaniu go oraz pominięciu w tak otrzymanym wyrażeniu składników wyższego rzędu ze względu na małą wartość ε, otrzymuje się
(6.285)

Rugując z równań (6.282) i (6.285) czynnik (p_z - p₀) uzyskuje się
(6.286)

Poszukując minimum N_L względem Λ_L otrzymuje się optymalną wartość Λ_L
(6.287)

W celu przeprowadzenia optymalizacji zapotrzebowania mocy N_L względem L/D równanie (6.285) należy przedstawić w nieco zmienionej postaci

N_L =

c³ p²

108 π η ε²

N₀

(6.288)

Przy takim założeniu N₀ jest funkcją jedynie parametrów geometrycznych
(6.289)

Poszukując minimum N₀ względem L/D otrzymuje się przy stosunku L/D = 1,1 minimalną wartość N_min = 721. Daje to
N_{L min} = 2,15 c³ p²
η ε² (6.290)

Rozwiązując równanie (6.285) przy stosunku L/D = 1,1 , otrzymuje się
(p_z - p )_opt = 2,13 p
ε (6.291)

Naprężenie ścinające w cieczy można wyznaczyć z równań (6.292) i (6.293)

τ_x = η (

∂ u

∂ y

)

y = 0

= η

(

2 η

∂ p

∂ x

)

(6.292)

Ponieważ dla małych wartości ε pochodna (∂ p/∂ x) jest tego samego rzędu co ε, dlatego też siła tarcia T jest określona wzorem

(6.293)

Przedstawioną analizę przeprowadzono przy założeniu, że czop i panewka są współśrodkowe. Jeżeli występuje ruch względny między powierzchnią czopa a panewką, wówczas nastąpi połączenie smarowania hydrostatycznego z oddziaływaniem hydrodynamicznym. Prowadzi to do podwyższenia obciążalności skojarzenia w stosunku do wartości przewidzianych na podstawie przytoczonej analizy.

Podobnie jak wspomniano przy omawianiu smarowania hydrodynamicznego, także i rozwój wiedzy dotyczącej smarowania hydrostatycznego wykroczył daleko poza ramy przytoczonej klasycznej teorii.

Pełna analiza smarowania hydrostatycznego, uwzględniająca wiele zjawisk towarzyszących, pozwala opracować wytyczne umożliwiające prawidłowe zaprojektowanie i eksploatowanie łożyska.

6.7.3. Łożysko ślizgowe wzdłużne

Matematyczna analiza ślizgowych łożysk wzdłużnych smarowanych hydrostatycznie jest stosunkowo prosta w porównaniu z analogiczną analizą łożysk poprzecznych. Nie ma tu żmudnych wyprowadzeń, a wystarczy jedynie zastosowanie elementarnych równań przepływu.

Rys. 6.80. Łożysko ślizgowe wzdłużne stopowe: a) schemat łożyska, b) rozkład ciśnienia

Na rys. 6.80 podano przykład hydrostatycznego łożyskowania wału obciążonego osiową siłą W. Łożysko wykonano ze stopów metali. Wał o promieniu R ma na powierzchni czołowej wycięcie o promieniu R₀. Ciecz jest doprowadzona pod ciśnieniem ( p_w - p_a) przez kanał umieszczony w środku łożyska. Następnie wypływa ona promieniowo na zewnątrz przez pierścieniową szczelinę o wysokości h. Ciśnienie cieczy na wylocie szczeliny ma wartość ciśnienia otoczenia p₀. Rozkład ciśnienia cieczy w szczelinie można wyznaczyć z równania Reynoldsa. Zakreskowany na rys. 6.80b pierścień przedstawia elementarną szczelinę o szerokości 2 πr i długości d_r. Podstawiając

b = 2π r

oraz

d_x =d_r

otrzymuje się zależność na natężenie przepływu cieczy przepływającej przez zakreskowany obszar
Q = - h³ 2π r
12 η d p
d x (6.294)

znak (-) oznacza, że (d p/d r) jest ujemne.

Równanie to można przekształcić następująco

d p =

6 η Q

π h³

d r

(6.295)

Po scałkowaniu uzyskuje się
p = - 6 η Q
π h³ ln r + C (6.296)

Stałą całkowania można wyznaczyć z warunku brzegowego
p = p_a dla r = R

czyli
C = 6 η Q
π h³ ln R + p_a (6.297)

Po podstawieniu do (6.296) otrzymuje się
p - p_a = 6 η Q
π h³ ln R
r (6.298)

Z zależności tej można obliczyć wartość ciśnienia p_w na wlocie do łożyska. Odpowiedni warunek brzegowy ma w tym przypadku następującą postać
p = p_w dla r = R₀

czyli
p_w - p_a = 6 η Q
π h³ ln R
R₀ (6.299)

Dzieląc równania (6.298) i (6.299) stronami otrzymuje się rozkład ciśnienia p w cieczy wzdłuż promienia r
p - p_a = (p_w - p_a)
ln R
r

ln R
R₀
(6.300)

Wyznaczając obciążalność łożyska należy uwzględnić to, że całkowita siła nośna składa się z siły wywieranej przez ciecz o ciśnieniu (p_w - p₀) na powierzchnię wgłębienia o promieniu R₀ oraz z siły wywieranej przez wypływającą ciecz o zmiennym ciśnieniu (p_w - p₀) na powierzchnię progu łożyska. Uwzględniając powyższe zależności otrzymuje się

(6.301)

Funkcja (p_w - p₀) jest dana równaniem (6.300), a stąd
(6.302)

Po scałkowaniu otrzymuje się następujące wyrażenie na obciążalność
W =

π (p_w - p_a) (R² - R₀²)

2 ln R
R₀
(6.303)

Natężenie przepływu można wyznaczyć z równania (6.294) przekształcając je do postaci
Q =

(p_w - p_a) π h³

6 η ln R
R₀
(6.304)

Równania (6.303) i (6.304) wiążą ze sobą podstawowe parametry łożyska, jak: grubość warstewki cieczy h oraz wymiary geometryczne R₀ i R z ciśnieniem cieczy, natężeniem przepływu i obciążalnością. Stanowią one więc wystarczającą informację dotyczącą prawidłowości zaprojektowania i eksploatowania łożyska. Na rys. 6.81 przedstawiono orientacyjne zależności obciążalności hydrostatycznego łożyska wzdłużnego od jego wymiarów geometrycznych i ciśnienia zasilania.
Rys. 6.81. Obciążalność wzdłużnego łożyska ślizgowego, smarowanego hydrostatycznie w funkcji pola powierzchni oporowej i ciśnienia zasilania

Podobnie jak analogiczne zależności dla łożyska poprzecznego, tak i te zależności zostały sporządzone przy założeniu określającym relację ciśnienia na wlocie i średniego nacisku jednostkowego na powierzchnię łożyska. Ciśnienie na wlocie musi być co najmniej czterokrotnie większe od średniego nacisku jednostkowego na powierzchnię łożyska. Reguła ta jest także powszechnie stosowana w praktyce do orientacyjnego oszacowania obciążalności łożyska wzdłużnego smarowanego hydrostatycznie.

Wymagania dotyczące układów zasilania łożysk wzdłużnych są podobne do odpowiednich wymagań dla łożysk poprzecznych. Także i tu muszą być ściśle spełnione warunki dotyczące natężenia przepływu i ciśnienia zasilania. Na rys. 6.82 przedstawiono dwa typowe układy smarowania łożysk wzdłużnych, tj. układ ze stałym natężeniem przepływu oraz układ ze stałym ciśnieniem zasilania. Układ ze stałym natężeniem przepływu składa się z wysokociśnieniowej pompy, która podaje ciecz przy stałym natężeniu przepływu, niezależnie od ciśnienia w przestrzeni smarującej. Układ ze stałym ciśnieniem zasilania oprócz pompy ma zawór regulujący ciśnienie oraz element wyrównawczy, najczęściej rurkę kapilarną lub kryzę.

płytka oporowa,
układ ze stałym natężeniem przepływu,
układ ze stałym ciśnieniem zasilania,
rozkład ciśnienia w szczelinie;

warstwa cieczy smarującej,
pompa,
element kompensujący,
ciśnieniowy zawór kontrolny,

W- obciążenie

Zastosowanie elementów regulujących parametry przepływu cieczy ma głównie za zadanie polepszenie adaptacji łożyska do nowych warunków pracy przy zmianach obciążenia. Charakterystyką ilościową, opisującą zdolność adaptacyjną łożyska, jest czułość warstwy cieczy smarującej na zmianę obciążenia. Dla przykładu przedstawionego na rys. 6.82a zależność taka ma następującą postać
(6.305)

przy czym
k = 3 π d⁴ l
64 l_t L

gdzie: W - obciążenie w N, h - grubość warstwy cieczy smarującej w m, p - ciśnienie pompy (zasilanie) w Pa, d-średnica rurki kapilarnej w m, l_t - długość rurki kapilarnej w m, l, h, L - wymiary łożyska wg rysunku.

Z równania (6.305) wynika, że czułość grubości warstwy cieczy na zmianę obciążenia, zależy od jej grubości, ciśnienia zasilania oraz wymiarów geometrycznych kapilary i łożyska. Z zależności tej wynika więc możliwość kształtowania zdolności adaptacyjnej łożyska przez odpowiedni dobór parametrów układu zasilania.

6.8. Smarowanie gazodynamiczne

Smarowanie gazodynamiczne charakteryzuje się tym, że między odpowiednio ukształtowanymi powierzchniami znajdującymi się we względnym ruchu tworzy się warstwa gazu, całkowicie oddzielająca te powierzchnie, w której powstaje dynamiczne ciśnienie równoważące zewnętrzne obciążenie.

Z definicji wynika, że zasada smarowania gazodynamicznego jest analogiczna do zasady smarowania hydrodynamicznego. Jednak ze względu na to, że substancją smarującą jest tu płyn ściśliwy, istnieją różnice w stosunku do smarowania cieczą, którą można uznać za nieściśliwą. Różnice te są omówione w następujących punktach.

Rozkład ciśnienia. W warstwie cieczy powstającej przy smarowaniu hydrodynamicznym tworzy się nadciśnienie, a więc ciśnienie większe od ciśnienia otoczenia, oraz podciśnienie, czyli ciśnienie mniejsze od ciśnienia otoczenia p_a. Wartość tych wzrostów i spadków ciśnienia jest niezależna od wartości ciśnienia otoczenia. W przeciwieństwie do tego przy smarowaniu gazodynamicznym, zmiany ciśnienia są zależne od wartości ciśnienia otoczenia p_a. Dlatego przy analizie smarowania gazodynamicznego konieczne jest uwzględnienie w równaniu Reynoldsa bezwzględnego ciśnienia gazu.

Jednakże oczywiste jest to, że przy rozpatrywaniu rozkładu ciśnienia przy smarowaniu gazodynamicznym w układzie odniesienia służącym do analizy hydrodynamicznej, tzn. w stosunku do ciśnienia otoczenia p_a, wystąpią również obszary podciśnienia i nadciśnienia. W łożyskach smarowanych gazodynamicznie, ze względu na ciągłość przepływu gazu, na całym obwodzie obszar podciśnienia stanowi dopełnienie do kąta 2π. Zjawisko to jest pożyteczne ponieważ strefa podciśnienia zwiększa nośność łożyska. Powoduje ono odciążenie wału przez działanie ssące w obszarze przeciwległym do obszaru podwyższonego ciśnienia. Typowy rozkład ciśnienia przy smarowaniu gazodynamicznym łożyska poprzecznego przedstawiono na rys. 6.83.

Rys. 6.83. Rozkład ciśnienia na obwodzie gazodynamicznego ślizgowego łożyska poprzecznego z pełną panwią

Zmiany gęstości. W analizie smarowania gazodynamicznego konieczne jest uwzględnienie zmian gęstości gazu. W tabl. 6.11 podano wpływ ściśliwości gazu na charakterystyki łożyska. Występują tu wyraźne rozbieżności między danymi eksperymentalnymi a teorią płynów nieściśliwych zastosowaną do smarowania gazem. Przytoczone wyniki teoretyczne dotyczą powietrza traktowanego jako płyn nieściśliwy przy założeniu, że jego gęstość jest stała, równa gęstości w warunkach otoczenia. Teorię płynów nieściśliwych można wykorzystywać do oceny właściwości łożysk smarowanych gazodynamicznie tylko przy bardzo małych (zbliżonych do zera) wartościach parametru łożyska

Λ =

6 η ω

p_a

(

)²

(6.306)

gdzie: η - lepkość w Pa • s, ω - prędkość kątowa w l /s, R - promień czopa w m, c - luz promieniowy w m.

Zmiany lepkości. Lepkość gazu wzrasta ze wzrostem temperatury w przeciwieństwie do lepkości cieczy. Zazwyczaj w analizie smarowania gazodynamicznego zakłada się izotermiczne warunki pracy. Założenie to jest możliwe do przyjęcia dla średnich prędkości, przy których straty tarcia są małe i nie powodują dużego wzrostu temperatury. Przy dużych prędkościach konieczne jest uwzględnienie w równaniu Reynoldsa zmian lepkości związanych ze zmianą temperatury.

Zaburzenia przepływu. W łożyskach gazodynamicznych nie występują zaburzenia przepływu tego typu, jak w łożyskach hydrodynamicznych. Upraszcza to znacznie warunki brzegowe. Jednakże w szczególnych przypadkach pojawiają się inne odstępstwa od teorii ciągłego przepływu. Jeżeli grubość warstwy smarującej staje się porównywalna ze średnią drogą swobodną cząsteczek gazu, wówczas prze-

Tablica 6.11. Charakterystyki łożyska ślizgowego z uwzględnieniem ściśliwości oleju

n obr/min
u cm/s
ε

230
182,9
0,39

805
641,3
0,1625

1730
1377,9
0,091

Wartość

doświadczalna

teoretyczna

doświadczalna

teoretyczna

doświadczalna

teoretyczna

p₀-p_a, kPa

536,13

555,45

301,53

689,60

301,53

880,6

p_min-p_a, kPa

-407,10

-555,45

-325,68

-689,60

-349,83

-808,68

p₀-p_min, kPa

943,23

1110,9

627,21

1380

651,36

1617,36

θ₀-180, stopnie

-28

-57

-43

-76

-43

-82

θ_min-180, stopnie

129

θ_min-θ_min, stopnie

114

139

152

172

164

n-	prędkość obrotowa, obr/min,
u-	prędkość obwodowa czopa, cm/s,
ε-	mimośrodowość względna,
p₀-	ciśnienie maksymalne w szczelinie smarowej, kPa,
p_a-	ciśnienie zasilania, kPa,
p_min-	ciśnienie w szczelinie smarowej przy minimalnej grubości warstwy oleju, kPa,
θ₀-	kąt określający ciśnienie maksymalne względem obciążenia normalnego, stopnie,
θ_min-	kąt określający minimalną grubość warstwy oleju względem obciążenia normalnego, stopnie.

Dokładność wykonania. Warstwy smarujące gazu powstające podczas smarowania gazodynamicznego są dużo cieńsze niż analogiczne warstwy przy smarowaniu cieczą. Ich grubość jest często tego samego rzędu co chropowatość powierzchni czopa i panewki. Dokładność wykonania i chropowatość współpracujących powierzchni wpływa więc zasadniczo na efektywność ich oddzielenia za pomocą warstwy smarującej. Wszelkie błędy kształtu takich powierzchni powodują na przemian ściskanie i rozszerzanie gazu. Na skutek tego w warstwie gazu powstają obszary podwyższonych i obniżonych ciśnień, które zniekształcają rozkład ciśnienia i pozostałe parametry przepływu.

Przenoszenie ciepła. Ze względu na małe straty spowodowane ścinaniem ilość odprowadzanego ciepła z łożysk smarowanych gazodynamicznie jest mniejsza niż z łożysk smarowanych hydrodynamicznie. Dlatego uwzględnianie wpływu zjawisk cieplnych ma znaczenie tylko przy bardzo dużych prędkościach.

Reasumując należy stwierdzić, że chociaż stała lepkość i mniej skomplikowane warunki brzegowe upraszczają analizę łożysk smarowanych gazodynamicznie, to jednak konieczność uwzględnienia zmian gęstości stanowi znaczne jej utrudnienie. Nawet przy zastosowaniu idealnych zależności gazodynamiki otrzymuje się trudne do rozwiązania równania różniczkowe nieliniowe.

Wykorzystując zależności dla gazu doskonałego równanie Reynoldsa można przedstawić następująco

(6.307)

przy czym
Λ = 6 η ω
p_a ( R
c )² ; p = p
p_a ; h = h
h₂

η = η
η₀ ; x = x
R ; z = z
R (6.308)

gdzie: n-wykładnik politropy, η₀-lepkość w warunkach otoczenia w Pa•s, p_a - ciśnienie otoczenia w Pa, h₂ - grubość warstwy, przy której wartość ciśnienia dynamicznego spada do p_a w m (rys. 6.83), pozostałe oznaczenia jak w dotychczasowych rozważaniach.

Równanie (6.307) można przekształcić następująco
(6.309)

Dla warunków izotermicznych (n = l) zależność tę można zredukować do postaci
(6.310)

Równanie (6.310) ma postać identyczną jak równanie (6.309) dla smarowania cieczami. Rozwiązanie słuszne dla cieczy można więc wykorzystać do analizy smarowania gazem. Konieczne jest przy tym jednak ustalenie zależności między p² i 2p h dla gazu oraz p i h dla cieczy. Dla bardzo małych wartości tych parametrów, bliskich zeru, rozkład ciśnienia i obciążalność warstwy gazu można uzyskać z rozwiązania dla smarowanych cieczą łożysk o skończonych wymiarach. Przy bardzo dużych wartościach L rozwiązanie problemu smarowania aerodynamicznego jest natomiast zbliżone do rozwiązania dla nieskończenie długiego łożyska smarowanego cieczą. Ponieważ ciśnienie p musi mieć wartość skończoną, dlatego z warunku Λ → ∞ wynika warunek
(6.311)

bowiem tylko wtedy jest możliwe istnienie skończonej granicy prawej strony równania (6.310).

Z warunku tego wynika

p = (

)

(6.312)

gdzie: a = h₁, h₁ - grubość warstwy, przy której rozpoczyna się wzrost ciśnienia dynamicznego powyżej wartości p_a w m, h₂ - grubość warstwy, przy której kończy się spadek ciśnienia dynamicznego do wartości p_a, w m.

Dla dużych wartości Λ obciążalność w bardzo małym stopniu zależy od prędkości i dąży asymptotycznie, przy Λ → ∞, do wartości

(6.313)

Postęp wiedzy w zakresie działania łożysk smarowanych gazodynamicznie doprowadził w ostatnim piętnastoleciu do ich rozpowszechnienia w szerokim zakresie w wielu gałęziach przemysłu.

Ideę zastosowania gazu jako substancji smarującej zaproponował po raz pierwszy Hirn już w 1854 r. Dopiero jednak w 1897 r. Kingsbury skonstruował pierwsze łożysko smarowane gazem. Współcześnie łożyska gazodynamiczne są w szerokim zakresie stosowane w maszynach przepływowych, we wrzecionach obrabiarek, w urządzeniach kontrolno-pomiarowych, w żyroskopach i w wiertarkach dentystycznych.

- turbina,
- łożysko gazodynamiczne,
- łożysko gazostatyczne,

n = 420 000 obr/min

Na rys. 6.84 podano przykład zastosowania smarowania powietrzem łożysk wrzeciona wiertarki dentystycznej. Prędkość obrotowa wrzeciona n wynosi 420000 obr/min, a wydajność powietrza 2040 dm³/s, przy ciśnieniu zasilania 0,36 MPa (3,5 at). Zalety decydujące o rozpowszechnieniu smarowania gazem są następujące: małe opory tarcia, dostępność substancji, niezanieczyszczanie powierzchni łożyska, możliwość stosowania w szerokim zakresie temperatury w przeciwieństwie do cieczy, której zastosowanie jest ograniczone ze względu na niebezpieczeństwo jej wrzenia czy zamarzania.

Smarowanie gazodynamiczne ma jednak i poważne wady, jak: mała nośność (ciśnienie w łożyskach gazodynamicznych jest rzędu 10⁵ Pa w porównaniu z wartościami rzędu 10⁷ Pa przy smarowaniu hydrodynamicznym), mała stabilność pracy, duże wymagania w zakresie dokładności wykonania i chropowatości powierzchni.

Łożyska gazodynamiczne mogą być wykonywane jako wzdłużne i poprzeczne (rys. 6.85).

Rys. 6.85. Łożyska gazodynamiczne:

a, b) łożyska z wahliwymi płytkami panwiowymi,

c) łożyska wzdłużne ze spiralnymi rowkami,

d) łożysko poprzeczne ze spiralnymi rowkami,

e) łożysko foliowe

6.9. Smarowanie gazostatyczne

Smarowanie gazostatyczne charakteryzuje się tym, że między współpracującymi powierzchniami, znajdującymi się we względnym spoczynku, tworzy się warstwa gazu całkowicie oddzielająca te powierzchnie, w której powstaje statyczne ciśnienie występujące na skutek ciągłego krążenia gazu pod wpływem oddziaływania ciśnienia, wytwarzanego przez odpowiednie źródło, równoważącego zewnętrzne obciążenie.

Zjawiska fizyczne stanowiące o istocie smarowania (dynamiczne lub statyczne oddziaływanie substancji smarującej) są jednakowe. Różnice między smarowaniem cieczą a smarowaniem gazem są jedynie ilościowe i dotyczą głównie wartości lepkości, gęstości oraz ich zmian. Natomiast wady i zalety smarowania gazodynamicznego są identyczne, jak smarowania hydrodynamicznego.

Zasada smarowania gazodynamicznego jest często demonstrowana za pomocą łożyska (rys. 6.86). Składa się ono z podstawy z wgłębieniem w kształcie czaszy kulistej oraz z metalowej kuli. Opór tarcia w takim łożysku jest niezwykle mały.

Rys. 6.86. Model łożyska gazostatycznego:

a) przekrój,

b) widok ogólny,

c) elementy łożyska

Dzięki temu kulę można swobodnie obracać. Utrzymuje ona swój ruch przez długi czas po zlikwidowaniu siły wymuszającej.

Natężenie przepływu potrzebne do wytworzenia warstwy smarującej, oddzielającej całkowicie współpracujące powierzchnie, jest stosunkowo niewielkie. Dla kuł o masie ok. 15 kg wynosi ono jedynie 0,75 dm³/min przy ciśnieniu zasilania zaledwie 0,015 MPa (0,15 at).

Analiza smarowania gazostatycznego opiera się, ze względu na podobieństwo zjawisk, na tych samych zasadach, co analiza smarowania hydrostatycznego. Z rozważań przeprowadzonych dla smarowania hydrostatycznego wynika, że zależności opisujące smarowanie łożysk poprzecznych są zdecydowanie bardziej skomplikowane niż odpowiednie zależności dla łożysk wzdłużnych, charakteryzujące się wyjątkowo prostym opisem analitycznym. Dlatego też ze względów dydaktycznych będzie omówiony przypadek, jako bardziej interesujący, smarowanego gazostatycznie ślizgowego łożyska poprzecznego z uwzględnieniem analogii do smarowania hydrostatycznego.

Równanie Reynoldsa jest słuszne dla płynów nieściśliwych i ściśliwych. Korzystając z równania stanu dla gazu idealnego o warunkach izotermicznych ( (p/r) =const) oraz zakładając warunki brzegowe V = U₁ = U₂ = 0, można równanie Reynoldsa przekształcić do postaci

(6.314)

skąd, po zróżniczkowaniu i podstawieniu wyrażeń na grubość warstwy smarującej h otrzymuje się dla łożyska poprzecznego
(6.315)

Uwzględniając powyższe zależności równanie Reynoldsa można przedstawić następująco

(6.316)

Wprowadzając pomocniczą zmienną pˆ określoną zależnością
(6.317)

można równanie (6.316) przedstawić w postaci
(6.318)

Warunek brzegowy jest dla rozwiązywanego równania następujący

Przy powyższych założeniach rozwiązanie równania (6.318) jest określone zależnością (6.316). Podstawiając do równania λ = Λ_L½L uzyskuje się rozwiązanie równania (6.318) jako funkcję pomocniczej zmiennej pˆ

(6.319)

W analizie łożysk gazostatycznych wygodne jest stosowanie wielkości względnych, odniesionych do ciśnienia otoczenia p_a. W dalszych rozważaniach wielkości takie będą oznaczane poziomą kreską umieszczoną nad symbolem wielkości, np. p_z - względne ciśnienie zasilania.

Dokonując odwrotnej transformacji zmiennych oraz pomijając wyrażenia drugiego i wyższych rzędów ze względu na małe wartości ε, otrzymuje się rozwiązanie równania opisującego smarowanie gazostatyczne

(6.320)

gdzie p_z = (p_z/p_a) - względne ciśnienie zasilania.

Równanie (6.320) wyznacza poszukiwany rozkład ciśnienia p( z, 0 ). Całkując je po powierzchni łożyska można określić nośność łożyska

(6.321)

Całkę występującą w równaniu (6.321) można obliczyć podstawiając

oraz korzystając z całek Gaussa

(6.322)

przy czym

zaś p = (p/p_aε) - względna nośność.

Równanie (6.322) można także przedstawić następująco:

(6.323)

przy czym T(Y, L/D) jest funkcją zmiennych Y oraz (L/D) daną w postaci
(6.324)

Zależność wartości funkcji T(Y, L/D) od zmiennej Y dla różnych wartości stosunku - przedstawiono na rys. 6.87. Zamieszczone na tym rysunku wykresy umożliwiają na podstawie równania (6.321) dobranie odpowiednich wartości λ przy założonym stosunku ciśnień p_z (lub odwrotnie), a następnie wyznaczenie z równania (6.322) względnej nośności p. Z równania (6.322) można także wyznaczyć optymalną wartość λ_opt przez podstawienie w miejsce Y i wielkości Y_opt oraz (L/D)_opt

Rys. 6.87. Zależność funkcji F(Y, L/D) od Y dla różnych wartości (L/D)

(6.325)

Optymalną wartość względnego ciśnienia zasilania można określić z równania
(6.326)

Rys. 6.88. Porównanie charakterystyk łożysk hydrostatycznych i gazostatycznych; h- smarowanie hydrostatyczne, g - smarowanie gazostatyczne

Równanie (6.326) służy za podstawę do graficznego przedstawienia następujących zależności:
(6.327)

Funkcje te przedstawiono na rys. 6.88. Na wykresie tym podano także zależność względnego zapotrzebowania mocy N = (N/p_aε) od względnej nośności. Oprócz oznaczonych indeksem g wyników dotyczących smarowania gazostatycznego, zamieszczono na rysunku także, dla porównania, krzywe wyróżnione indeksem h, opisujące smarowanie hydrostatyczne. Przytoczone zależności analityczne oraz wykresy przedstawione na rys. 6.88 pozwalają określić wartości podstawowych wielkości charakteryzujących smarowanie gazostatyczne. Podobnie jak w poprzednich rozdziałach, w których omówiono pozostałe rodzaje smarowania płynnego, tak i tu, informacje dotyczące konstrukcji nieodłącznie są związane z informacjami dotyczącymi technologii i eksploatacji, tworząc złożoną całość, którą należy rozpatrywać kompleksowo.

6.10. Smarowanie elastohydrodynamiczne

Smarowanie elastohydrodynamiczne jest przypadkiem tarcia płynnego przy styku kontaktowym (Hertza). Przy smarowaniu elastohydrodynamicznym pod wpływem wysokich ciśnień występują duże zmiany lepkości oraz znaczne odkształcenia współpracujących elementów.

6.10.1. Zasada smarowania elastohydrodynamicznego

W warunkach smarowania hydrodynamicznego, np. w większości łożysk ślizgowych, współpracujące powierzchnie są oddzielone całkowicie warstwą substancji smarującej. Do połowy lat dwudziestych naszego stulecia uważano, że przy istnieniu oddziaływań naprężeń kontaktowych (koła zębate, łożyska toczne itp.) smarowanie hydrodynamiczne nie może występować. Pogląd ten opierał się na wnioskach wyciągniętych z klasycznej teorii hydrodynamicznej zakładającej, że grubość warstwy cieczy jest niewystarczająca do oddzieleni nierówności powierzchni nawet w warunkach szczególnie sprzyjających. Za podstawę analizy brano lepkość cieczy wchodzącej w strefę styku bez uwzględnienia zmian lepkości związanych z działaniem wysokich ciśnień w strefie styku kontaktowego. Jednak długotrwała praca wielu przekładni zębatych przy minimalnych efektach zużycia sugerowała istnienie innej warstwy niż graniczna, oddzielającej całkowicie współpracujące powierzchnie. W rzeczywistości w kołach zębatych i łożyskach tocznych występuje specyficzna, odmienna niż w łożyskach ślizgowych, forma smarowania hydrodynamicznego, zwana smarowaniem elastohydrodynamicznym.

Klasyczna teoria smarowania hydrodynamicznego (Reynoldsa) opierała się na wielu założeniach upraszczających. Do najważniejszych z nich należą:

Założenia te odpowiadają z grubsza warunkom pracy łożysk ślizgowych, lecz nie można ich jednak odnieść do styku kontaktowego Hertza.

Począwszy od 1940 r. wielu badaczy usiłowało zmodyfikować klasyczną teorię hydrodynamiczną stosując ją do styków kontaktowych. Powszechnie zgadzano się, że grubość przewidywanej warstwy hydrodynamicznej wzrasta dwu lub trzykrotnie, jeżeli uwzględnić wzrost lepkości oleju pod ciśnieniem w styku. Nie było to jednak wystarczające wytłumaczenie występowania w kołach zębatych i łożyskach tocznych tarcia płynnego. Dalsze prace wykazały istnienie zjawiska sprężystego odkształcenia powierzchni współpracujących, wywołanego dużym ciśnieniem w warstwie cieczy.

Pierwsze prace teoretyczne, będące podstawą zmodyfikowanej teorii smarowania hydrodynamicznego, nazwanej później teorią smarowania elastohydrodynamicznego, opublikowali w latach 1949-1951 Grubin i Petrusewicz. Zgodnie z ich analizą powierzchnie współpracujące stają się w obszarze styku, w czasie jego trwania, w przybliżeniu równoległe, przy czym w obszarze tym rozkład ciśnienia jest zbliżony do rozkładu nacisków Hertza. Na krańcu obszaru styku kształt zdeformowanej sprężyście powierzchni implikuje gwałtowną zmianę wartości ciśnienia cieczy. Na rys. 6.89 przedstawiono kształt warstwy elastohydrodynamicznej, zaś na rys. 6.89b - rozkład ciśnienia wg Grubina i Petrusewicza.

Rys. 6.89. Charakterystyki styku elastohydrodynamicznego:

a) kształt warstwy cieczy smarującej,

b) rozkład ciśnienia,

c) łożysko Rayleigha;

1-styk niesmarowany,

2 - styk smarowany

Wykonane następne doświadczenia wykazały, że grubość warstwy smarującej jest nieznacznie zależna od obciążenia. W 1958 r. Crook przedstawił bezpośrednią metodę pomiaru grubości elastohydrodynamicznej warstwy cieczy w urządzeniu odtwarzającym współpracę dwóch walców. Stwierdził on, że zmiana obciążenia wpływa nieznacznie na grubość warstwy smarującej, zgodnie z analizą Grubina.

Badania smarowania elastohydrodynamicznego wskazały na interesującą analogię między optymalnym kształtem ślizgacza łożyska wzdłużnego a kształtem warstwy elastohydrodynamicznej. Przy styku kontaktowym powierzchnie przyjmują kształt zbliżony do optymalnego (optymalna nośność) kształtu Rayleigha zgodnie z zasadą Le Chateliera-Brauna.

Odkształcenia sprężyste powierzchni i wzrost lepkości cieczy w strefie styku jest przykładem nakładania się zjawisk i sumowania ich skutków. W tabl. 6.12 przedstawiono porównanie nośności warstwy elastohydrodynamicznej z wartościami obliczonymi na podstawie kolejnych modyfikacji teorii hydrodynamicznej. Nośność jest tu wyrażona przez siłę przypadającą na jednostkę długości styku zębów smarowanej pary kół zębatych.

Tablica 6.12. Porównanie nośności warstw smarujących
Założenia teorii	Nośność kN/m
Nieodkształcalność ciał smarowanych i stała lepkość	236
Uwzględnienie zmian lepkości w strefie styku	512
Uwzględnienie odkształceń sprężystych powierzchni	946
Teoria elastohydrodynamiczna	8055

6.10.2. Geometria styku kontaktowego

Styk wielu powierzchni elementów maszyn można przedstawić modelowo za pomocą powierzchni cylindrycznych. Transformacja taka daje dobrą zgodność geometryczną dla nieodkształconych ciał w bezpośrednim sąsiedztwie styku.

W przypadku łożysk wałeczkowych (rys. 6.90) kształty stykających się elementów są dokładnie cylindryczne. Na bieżni wewnętrznej styk jest utworzony

Rys. 6.90. Cylindry równoważne dla łożyska wałeczkowego:

a) schemat łożyska,

b) współpracujące elementy łożyska, i cylindry równoważne

Rys. 6.91. Cylindry równoważne dla zębów o zarysie ewolwentowym

przez dwie zewnętrzne powierzchnie cylindryczne o promieniach R₁ i r, natomiast na bieżni zewnętrznej styk istnieje między zewnętrzną powierzchnią cylindryczną wałeczka o promieniu r a wewnętrzną, wklęsłą powierzchnią cylindryczną bieżni o promieniu R₁ + 2r.

Dla kół zębatych o zębach ewolwentowych można wykazać, że styk w odległości s od środka przyporu (rys. 6.91) można przedstawić przez dwa cylindry obracające się z prędkościami kątowymi ω₁ i ω₂ o promieniach

R₁ sin ψ + s

;

R₁ sin ψ - s

(6.328)

gdzie ψ przyporu.

Przedstawiony sposób odwzorowania krzywizn kół zębatych jest stosowany w modelach współpracy kół zębatych. Umożliwia on pomiar sił oraz grubości warstw smarujących.
Rys. 6.92. Transformacja układu cylinder-cylinder
(a) na układ cylinder-płaszczyzna
(b) F_a, F_b, F_h, F_o siły styczne

Styk między dwoma cylindrami (rys. 6.92) można wystarczająco opisać przez równoważny styk cylindra z płaszczyzną. W tym celu musi być ustalona odpowiednia odległość między odwzorowywanymi cylindrami oraz odległość między równoważnym cylindrem a płaszczyzną. Muszą one być jednakowe dla tych samych wartości x. Konfiguracja cylinder-płaszczyzna czyni zadość temu warunkowi przy małych wartościach x. Ograniczenie to nie podważa słuszności analizy, ponieważ przy zjawiskach elastohydrodynamicznych x nie osiąga dużych wartości.

Z rys. 6.92 wynikają następujące zależności

h = h₀ + h_a + h_b

(6.329a)

h ≈ h₀ + x²
2R_a + x²
2R_b = h₀ + x²
2 ( 1
R_a + 1
R_b ) (6.329b)

Dla cylindra równoważnego (rys. 6.92)
h = h₀ + x²
2 R (6.330)

Stąd odległość między odwzorowywanymi cylindrami będzie równa odległości między cylindrem a płaszczyzną dla każdej wartości x, jeżeli
1
R = 1
R_a + 1
R_b (6.331)

Promień cylindra równoważnego jest więc równy

R_a R_b

R_a + R_b

(6.332)

Jeżeli środki obydwu cylindrów leżą po tej samej stronie wspólnej stycznej przechodzącej przez punkt styku oraz jeżeli R_a > R_b to promień cylindra równoważnego wynosi
R = R_a R_b
R_a - R_b (6.333)

Składowe normalne sił P_a, P_b, P przedstawione na rys. 6.92a, b, wynikają ze wzoru
P_ya = P_yb = P_y = ∫ p dx (6.334)

6.10.3.Smarowanie hydrodynamiczne obszaru styku kontaktowego

Przedstawienie styku kontaktowego rzeczywistych elementów maszyn jako styku dwóch cylindrów oraz przekształcenie konfiguracji cylinder-cylinder w układ cylinder-płaszczyzna pozwala na zastosowanie teorii hydrodynamicznej.

Rozwiązanie zagadnienia dotyczącego smarowania tego skojarzenia, z wykorzystaniem podstawienia Sommerfelda, umożliwia wyznaczenie względnej grubości warstwy cieczy odniesionej do promienia cylindra

h₀

= 4,9

η U

P_y

(6.335)

Układ współrzędnych oraz oznaczenia zachowano zgodnie z rys. 6.92b. Równanie wyprowadzono przy założeniu idealnej sztywności, a więc nieodkształcalności układu, oraz stałej lepkości.

W przypadku smarowania kół zębatych typowe wartości lepkości, prędkości i obciążenia w środku przyporu zazębienia są następujące

η = 0,075 Pa•s

;

U₁ = U₂ = 5 m/s

;

U = ½(U₁ + U₂) = 5 m/s

;

P_y = 2500 kN/m .

(6.336)

Względna grubość warstwy cieczy smarującej wynosi przy tych założeniach
h₀
R = 0,67 •10^-6 (6.337)

Zakładając wartość R = 20 mm, jako wartość promienia zastępczego cylindra odwzorowującego styk zębów koła zębatego, otrzymuje się z zależności (6.337) grubość warstwy cieczy przewidywanej dla tego przypadku przez klasyczną teorię hydrodynamiczną

h_o = 0,013 µm.

Grubość warstwy cieczy jest znikomo mała nawet w stosunku do wysokości nierówności powierzchni o największych gładkościach. Praktycznie nie można potwierdzić tego wniosku. Oznacza to, że klasyczna teoria hydrodynamiczna nie może być wykorzystywana do oceny zachowania się substancji smarującej koła zębate.

Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla łożyska tocznego. Rozważane łożysko wałeczkowe ma następujące parametry: prędkość obrotowa wału n = 5000 obr/min, średnica bieżni pierścienia wewnętrznego R₁ = 32 mm, średnica wałeczka r = 8 mm, obciążenie jednostkowe wałeczka p = 300 kN/m, lepkość cieczy smarującej η = 0,01 Pa • s.

Promień zastępczego cylindra R przy tych założeniach wynosi

R_a R_b

R_a + R_b

3,2 • 0,8

3,2 + 0,8

= 0,64 cm

(6.338)

Prędkość U można obliczyć na podstawie analizy kinematyki łożyska tocznego z następującej zależności

U =

R₁ ω

1 + 2

R₁

1 +

R₁

(6.339)

Wynosi ona dla tego przypadku U = 10,4 m/s.

Względna grubość warstwy smarującej wyraża się przy tych założeniach zależnością

h₀

= 1,7 •10^-6

(6.340)

skąd dla danego promienia R h_o = 0,010 µm. Obliczona grubość warstwy smarującej jest zbyt mała w porównaniu z wysokością nierówności, podobnie jak w kołach zębatych, aby mogła wystarczyć do całkowitego oddzielenia współpracujących powierzchni.

6.10.4. Elastohydrodynamiczna teoria smarowania

Teoria elastohydrodynamiczna powstała jako uogólnienie klasycznej teorii hydrodynamicznej przy uwzględnieniu warunków styku kontaktowego w celu wyznaczenia rozkładu ciśnienia w strefie styku, które wpływa na właściwości cieczy smarującej i odkształcenie współpracujących elementów. Wyznacza się w tym celu kształt i grubość warstwy smarującej oraz jej nośność. Założenia, na których opiera się teoria elastohydrodynamiczna są następujące:

1) przemieszczenia są obliczane wg modelu półprzestrzeni sprężystej ciała stałego uważanego za continuum materialne;

2) pomija się istnienie upływów bocznych, co jest uzasadnione wymiarami obszaru wytwarzanego ciśnienia dynamicznego - szerokość strefy wpływu tego ciśnienia jest mała w porównaniu z długością cylindra, czyli pochodna (∂ p/∂ z) ma więc pomijalnie małą wartość;

3) warunki brzegowe są następujące: p = 0 na wlocie, w dużej odległości od strefy wysokiego ciśnienia, p = (∂ p/∂ z) = 0 na wylocie;

4) smar jest nieściśliwy;

5) pomija się zmiany lepkości i objętości cieczy smarującej spowodowane zmianami temperatury.

Przy uwzględnieniu powyższych założeń zagadnienie sprowadza się do rozwiązania układu równań

d x

(

h³

d p

d x

)

= 12 U

d h

d x

η = η (p) ;

h = h₀ +

x²

2 R

+ v

(6.341)

przy czym prędkość hydrodynamiczna U = ½(U₁ + U₂)

Suma odkształceń sprężystych dwóch stykających się ciał stałych

(6.342)

przy czym
1
E' = 1
2 ( 1 - ν₁²
E₁ + 1 - ν₂²
E₂ )

gdzie: E₁, E₂ - współczynniki sprężystości wzdłużnej stykających się materiałów (moduł Younga) w Pa, ν₁, ν₂ -liczba Poissona stykających się materiałów. E' - zastępczy współczynnik sprężystości wzdłużnej w Pa, s - dodatkowa współrzędna wzdłuż osi x.

Zależność lepkości od ciśnienia przedstawia równanie

η = η₀ e^{-α p}

(6.343)

gdzie: η_o - lepkość przy ciśnieniu p = 0 w Pa•s, η - lepkość przy ciśnieniu p w Pa•s, α - ciśnieniowy współczynnik (piezo współczynnik) lepkości w Pa^-1

Przy tym założeniu wygodnie jest zastąpić w równaniu Reynoldsa ciśnienie p przez tzw. ciśnienie zredukowane

η =

( 1 -e^{-α p})

(6.344)

wówczas
d q
d x = e^{-α p} d p
d x (6.345)

Układ równań (6.341) tworzy tzw. izotermiczne zagadnienie smarowania elastohydrodynamicznego. Dotychczas nie znaleziono jego ogólnego rozwiązania, otrzymano natomiast wiele rozwiązań numerycznych. Główna trudność w uzyskaniu rozwiązania numerycznego polega na tym, że iteracja: ,,ciśnienie → odkształcenie → kształt warstwy oleju → ciśnienie" nie zawsze jest zbieżna.

6.10.5. Analiza wymiarowa smarowania elastohydrodynamicznego

Zmienne charakteryzujące proces smarowania elastohydrodynamicznego są następujące: zastępczy promień krzywizny R w m, zastępczy współczynnik sprężystości wzdłużnej E' w Pa, charakterystyki lepkościowe cieczy η w Pa • s, a w Pa^-1, obciążenie przypadające na jednostkę długości styku W w N/m, prędkość U w m/s, grubość warstwy smaru n w m.

Ustaleniem ilości zmiennych niezależnych opisujących dane zjawisko oraz ich wymiarów zajmuje się analiza wymiarowa.

Wymiar każdej wielkości fizycznej można przedstawić jako iloraz potęg wymiarów wielkości podstawowych (długość, masa, czas). W analizie wymiarowej oznaczone one są odpowiednio jako: wymiar długości L, wymiar masy M i wymiar czasu T.

Uwzględniając podane oznaczenia można wydzielić w omawianym procesie smarowania siedem zmiennych niezależnych o następujących wymiarach:

q	R	E'	η₀	α	W	U
L	L	M LT	M LT	L T² M	M T²	L T

Charakteryzują one geometrię (h, R) kinematykę (U), dynamikę (W), materiał elementów smarowanych (E') oraz ciecz smarującą (η_o, a ).

Celem teorii smarowania elastohydrodynamicznego jest ustalenie zależności pomiędzy wyszczególnionymi powyżej zmiennymi. Zwłaszcza ważna jest relacja grubości warstwy smarującej do pozostałych zmiennych. Informacje dotyczące wpływu obciążenia i prędkości na grubość warstwy h pozwalają ocenić możliwość spełniania, założonej w procesie konstruowania, roli warstwy smarującej. Można to oszacować przez porównanie wartości h z wysokością nierówności.

Wychodząc z przytoczonych przesłanek na podstawie analizy wymiarowej można określić trzy bezwymiarowe stosunki, w funkcji których wyznacza się względną, odniesioną do promienia zastępczego, grubość warstwy smarującej

= f

(

E' R'

η₀ U

E' R'

α E' )

(6.346)

Zredukowanie liczby zmiennych do czterech znacznie upraszcza sposób przedstawienia zależności w porównaniu z pierwotnie rozważaną liczbą siedmiu zmiennych. Parametry bezwymiarowe w tak przyjętym układzie są zdefiniowane w następującej kolejności:

parametr grubości warstwy smarującej, parametr obciążenia, parametr prędkości i parametr materiałowy

Tablica 6.13. Charakterystyka bezwymiarowych parametrów określających proces smarowania elastohydrodynamicznego
Parametr		Wielkości składowe
Ozna- czenie	wartość	obciążenie jednostkowe styku W kN/m	promień zastępczy R m	zastępczy moduł sprężystości E MPa	α 1/Pa	U, m/s przy mPa•s
						3	30	300
U	10^-13 10^-12 10^-11 10^-10 10^-9 10^-8	-	13	2,3•10⁵ stal/stal	-	0,1 1 10 100 - -	- 0,1 1 10 100 -	- - 0,1 1 10 100
W	3•10^-5 3•10^-4	90 900	13 -	2,3•10⁵ stal/stal	-	-
G	5000 2500	-	-	2,3•10⁵ stal/stal 1,15•10⁵ brąz/brąz	2,2•10^-3	-

Powszechnie spotykane wartości parametrów W, U oraz G podano w tabl. 6.11. Najbardziej znaczący wpływ na proces smarowania ma parametr prędkości U, dlatego też w tabl. 6.11 przedstawiono szeroki zakres jego zmienności, obejmujący aż pięć rzędów wielkości, tj.: 10^-8÷10^-13.
Rys. 6.93. Geometria styku kontaktowego: a) powierzchnie niesmarowane, b) powierzchnie smarowane

Wspomniane uprzednio prace Grubina nad smarowaniem styków kontaktowych doprowadziły do sformułowania elastohydrodynamicznej teorii smarowania. W późniejszym okresie przedstawiono wiele modyfikacji teorii elastohydrodynamicznej. Wszystkie one jednak zgadzają się w ogólnych zarysach z teorią Grubina. Najbardziej interesujące prace w tej dziedzinie przedstawili w 1961 r. Dowson i Higginson, autorzy wydanej w 1966 r. obszernej monografii smarowania elastohydrodynamicznego.

Teoria Grubina zakłada, że odkształcenie smarowanego cylindra jest takie same, jak w przypadku styku niesmarowanego. Geometrię styku sprężystego cylindra i nieodkształcalnej płaszczyzny pokazano na rys. 6.93. Z teorii sprężystości wynika następujące wyrażenie na przemieszczenie w ciele stałym na zewnątrz strefy styku Hertza (dla |x| > 0)

H - H₀ =

h - h₀

4 W

{ X (X² - 1)^½ - ln [X + (X² - 1)^½ ] }

(6.347)

gdzie:

H = h
R , H₀ = h₀
R , X= x
b

Scałkowane równanie Reynoldsa ma następującą postać

d p

d x

= 12η U (

h - h₀

h³

)

(6.348)

Wprowadzając ciśnienie zredukowane q

d q

d x

= 12η₀ U (

h - h₀

h³

)

(6.349)

a następnie względne ciśnienie zredukowane
Q = q
E (6.350)

oraz korzystając z zależności określającej wymiar styku
b
R = 4 ( W
2 π )^½ (6.351)

uzyskuje się równanie Reynoldsa w postaci bezwymiarowej
d Q
d X = 48 ( W
2 π )^½ U H - H₀
H³ (6.352)

Ciśnienie zredukowane powstające na krawędzi styku Hertza wynosi

(6.353)

Grubin przeprowadził całkowanie numeryczne tego wyrażenia otrzymując

Q_{x = -1} = 48 (

2 π

)²

U (

)²

• 0,0986 (

π H₀

2 W

)^11/6

(6.354)

Następnie Grubin oszacował lewą stronę równania (6.354) i stwierdził, że ciśnienie na krawędzi styku, tzn. przy X = - l, musi mieć wartość porównywalną z maksymalnym naciskiem Hertza. W zakresie praktycznych obciążeń oznacza to, że q ≈ (1/a ), ponieważ e^{- α p} « l .

Z określenia Q wynika, że

Q_{x = -1} =

≈

α E'

(6.355)

Podstawiając oszacowaną wartość Q_{x = -1} do równania (3.354) oraz przekształcając je odpowiednio, otrzymuje się wartość parametru grubości warstwy smarującej

H₀ =

1,95 (G U)^8/11

W^1/11

(6.356)

Pomimo prostych rozważań towarzyszących rozumowaniu Grubina, wartości grubości warstwy smarującej uzyskane z równania (6.356) są bardzo zbliżone do wartości obliczonych za pomocą innych, dokładniejszych metod oraz do wartości uzyskanych eksperymentalnie.

Rys. 6.94. Rozkład ciśnienia i kształt warstwy smarującej styku kontaktowego;
- lepkość stała, cylindry nieodkształcalne,
- lepkość zależna od ciśnienia, cylindry nieodkształcalne,
- lepkość stała, cylindry sprężyste,
- lepkość zależna od ciśnienia, cylindry sprężyste

Rys. 6.95. Rozkład ciśnienia i kształt warstwy elastohydrodynamicznej dla różnych obciążeń zewnętrznych; objaśnienie oznaczeń patrz rys. 6.94

Rozwiązania zagadnienia smarowania elastohydrodynamicznego są podawane na ogół wyłącznie w postaci bezwymiarowej. Zadaniem rozwiązań jest uzyskanie zależności dotyczących wpływu obciążenia, prędkości i właściwości oleju na rozkład ciśnienia oraz grubość warstwy smarującej.

Na rys. 6.94 podano zależności charakteryzujące wpływ, jaki ma uwzględnienie oddzielnie zmian lepkości i odkształcenia sprężystego na rozkład ciśnienia i kształt warstwy smarującej. Wykresy te sporządzono przy założeniu, że grubość warstwy elastohydrodynamicznej dla x = 0 jest jednakowa we wszystkich przypadkach.

Interesującym wnioskiem z analizy krzywych przedstawionych na rys. 6.94 jest istnienie sygnalizowanego uprzednio, łącznego wpływu zmian lepkości na skutek wzrostu ciśnienia oraz sprężystości powierzchni na wielkość ciśnienia dynamicznego. Na rys. 6.95 przedstawiono zmianę kształtu krzywej ciśnienia wraz ze wzrostem obciążenia. Wyniki te uwzględniają istnienie równoczesnego wpływu zmian lepkości na skutek wzrostu ciśnienia oraz smarowanych powierzchni. Wnioski te wynikają z teorii elastohydrodynamicznej. Krzywa c na rys. 6.95 ma identyczny kształt i wartość jak krzywa J na rys. 6.94, ponieważ obydwa rysunki dotyczą tych samych warunków; E = 2,15 • 10⁵ MPa; ν = 0,3; R = 200 cm; U = l m/s; η_o = 0,137 Pa • s. Na rys. 6.95 podano także zmianę grubości warstwy smarującej wraz ze zmianą obciążenia. Zależność tę można przedstawić w innej postaci. Na rys. 6.96 podano zmianę grubości w funkcji nacisku jednostkowego, odniesionego do

Rys. 6.96. Zmiana grubości warstwy elastohydrodynamicznej z obciążeniem

Rys. 6.97. Eksperymentalna zmiana lepkości oleju mineralnego η od ciśnienia względem η_o = 0,137 Pa•s

nacisku W₅₀₀ wywołującego ciśnienie p = 500 MPa. Grubość warstwy zależy w znikomym stopniu od zmian obciążenia. Nieczułość grubości warstwy elastohydrodynamicznej na zmianę obciążenia jest jednym z najistotniejszych wniosków teorii elastohydrodynamicznej. Wszystkie trzy rys. 6.94 do 6.96 opracowano przy założeniu zmian lepkości wg zależności z rys. 6.97. Jest to typowa doświadczalna krzywa dla przeciętnego oleju mineralnego.

W celu uzyskania modelu uwzględniającego równanie gradientu ciśnienia dla oleju o lepkości zależnej od ciśnienia, z uwzględnieniem odkształceń obszarów trybologicznych, zastosowano rozwiązanie numeryczne.

Model izotermicznej warstwy oleju podczas smarowania elastohydrodynamicznego opiera się na równaniu gradientu ciśnienia i równaniu stanu. Uwzględniając wykładniczą zależność lepkości od ciśnienia można uzyskać związek między ciśnieniem rzeczywistym w warstwie elastohydrodynamicznej oleju a ciśnieniem zredukowanym, i stąd charakterystykę rozkładu ciśnienia rzeczywistego w warstwie oleju na podstawie krzywej zredukowanego ciśnienia obliczonego przy stałej lepkości. Wartość współczynnika określającego zmiany lepkości oleju w zależności od zmian ciśnienia (piezowspółczynnika) mieści się w przedziale 001 ÷ 004 m²/MN. Zatem przy małych wartościach ciśnienia, obliczanie ciśnienia rzeczywistego na podstawie ciśnienia zredukowanego nie sprawia większych trudności. Jeśli natomiast ciśnienie zredukowane ma wartość około kilkudziesięciu MN/m², to wtedy wartość ciśnienia rzeczywistego dąży do nieskończoności.

W= 3. 10^-5 - parametr obciążenia,
U = 10^-11 - parametr prędkości,
G - parametr materiałowy,
H - parametr przemieszczenia w ciele stałym,
X- parametr długości obszaru styku

W dalszych rozważaniach wykorzystywano wykładniczą zależność lepkości od ciśnienia, a wartości parametrów bezwymiarowych będą odpowiadały przeciętnym wartościom stosowanym w praktyce.

Na rys. 6.98 i 6.99 podano rozkłady ciśnienia wyrażonego w formie bezwymiarowej, jako p = (p/E), oraz kształty warstw elastohydrodynamicznych dla

W = 3•10^-5,
U = 10^-11,
pozostałe oznaczenia - patrz rys. 6.98

różnych wartości parametrów bezwymiarowych W, U, G. We wszystkich czterech przypadkach występuje gwałtowny wzrost ciśnienia, tzw. szczyt ciśnienia po stronie wylotowej. Szczytu takiego nie obserwuje się na rys. 6.94, ponieważ wartości parametrów G i U, na podstawie których przedstawiono tam krzywe, są za małe do wytworzenia dostatecznego wzrostu ciśnienia. Z rys. 6.98 i 6.99 wynika, że wartość szczytu ciśnienia zależy przede wszystkim od wartości parametru materiałowego G, natomiast nieznacznie tylko od wartości parametru obciążenia W.

Rys. 6.100. Zależność grubości warstwy H smarującej od parametru U dla W =3•10^-5; G =5000;
-teoria elastohydrodynamiczna,
- teoria hydrodynamiczna

Podobnie grubość warstwy elastohydrodynamicznej wyraźnie zależy od parametru materiałowego G, natomiast w niewielkim stopniu jest zależna od parametru obciążenia W. Ponieważ jednak praktyczny zakres zmienności G jest niewielki w porównaniu z zakresem zmienności parametru prędkości U, dlatego można przyjąć, że grubość warstwy smarującej zależy głównie od parametru prędkości U. Na rys. 6.100 podano zmianę minimalnej grubości warstwy H_min = (x_min/R) w funkcji U. Z wykresu tego wynika proporcjonalność
H_min = α U ^0,7 (6.357)

Dla porównania przedstawiono także grubość warstwy smarującej przewidywaną przez klasyczną teorię hydrodynamiczną.

Na rys. 6.101 podano wpływ parametru prędkości U na rozkład ciśnienia b w warstwie elastohydrodynamicznej. W miarę wzrostu wartości parametru prędkości U rozkład ciśnienia odbiega od rozkładu Hertza. Wartości szczytu ciśnienia mogą przy tym przekraczać kilkakrotnie wartość nacisku Hertza.

Rys. 6.101. Wpływ parametru prędkości U na rozkład ciśnienia w warstwie elastohydrodynamicznej przy W = 3•10^-5, G= 5000,

0 - U = 0,

1 - U = 10^-13,

2 - U = 10^-12,

3 - U = 10^-11,

4 - U = 10^-10,

5 - U = 10^-9,

Rys. 6.102. Wpływ parametru prędkości U na kształt i grubość warstwy elastohydrodynamicznej, przy W = 3•10^-5, G = 5000,
0 - U = 0,
1 - U = 10^-13,
2 - U = 10^-12,
3 - U = 10^-11,
4 - U = 10^-10,
5 - U = 10^-9,

Na rys. 6.102 przedstawiono kształty elastohydrodynamicznej warstwy cieczy odpowiadające funkcjom ciśnienia z rys. 6.101. Obwiednie linii przedstawiających kształt warstw smarujących, dla różnych wartości parametru U (oznaczona przez 0), ograniczają obszar styku niesmarowanego, tzn. styku, jaki powstaje przy U = 0. Cechą charakterystyczną kształtu warstw elastohydrodynamicznych jest przewężenie po stronie wylotowej. Wraz ze wzrostem wartości U przewężenie to obejmuje coraz większą część strefy styku Hertza; przy najwyższej wartości U zaczyna. się ono już przed strefą styku Hertza. We wszystkich przypadkach minimalna grubość warstwy wynosi 0,7÷0,8 grubości w punkcie maksymalnego ciśnienia. Z przedstawionej analizy wynika, że parametr prędkości U jest dominującą zmienną niezależną.

Dotychczasowa analiza nie uwzględniała ściśliwości cieczy smarującej. Ciecz uznawano za idealnie nieściśliwą. Ze względu jednak na duże ciśnienia w strefie styku kontaktowego konieczne jest uwzględnienie zmian gęstości ze zmianą ciśnienia. Przy małym ciśnieniu zmiany te można uznać za liniowe. Typową eksperymentalną zależność wzrostu gęstości od ciśnienia dla oleju mineralnego przedstawiono na rys. 6.103. Zmiana gęstości na skutek wzrostu ciśnienia wpływa przede wszystkim na szczytową wartość ciśnienia.

Porównanie rys. 6.101 i 6.104 wykazuje, że we wszystkich przypadkach uwzględniających ściśliwość wartość ciśnienia szczytowego zmniejsza się i przesuwa w kierunku +x. Zmniejszenie to jest szczególnie wyraźne przy dużych wartościach parametru prędkości.

Rys. 6.103. Zależność gęstości od ciśnienia dla typowego oleju mineralnego

Rys. 6.104. Wpływ parametru prędkości U = na rozkład ciśnienia w elastohydrodynamicznej warstwie cieczy ściśliwej, przy W = 3•10^-5, G = 5000,
0 - U = 0,
1 - U = 10^-13,
2 - U = 10^-12,
3 - U = 10^-11,
4 - U = 10^-10,
5 - U = 10^-9,

Uwzględnienie ściśliwości cieczy nie wpływa zasadniczo na kształt warstwy smarującej. Na rys. 6.105 przedstawiono kształt warstwy elastohydrodynamicznej dla cieczy nieściśliwej 1 oraz dla cieczy ściśliwej 2.

Rys. 6.105. Wpływ ściśliwości cieczy smarującej na kształt i grubość warstwy elastohydrodynamicznej;

l - warstwa nieściśliwa,

2 - warstwa ściśliwa

Rys. 6.106. Zależność współczynnika tarcia µ od parametru prędkości w obszarze styku kontaktowego przy W = 10^-5, G = 5000:
1 - teoria elastohydrodynamiczna,
2 - teoria hydrodynamiczna

Siła tarcia powstająca przy smarowaniu elastohydrodynamicznym jest niezależna od parametru obciążenia W i zmienia się wraz z parametrem prędkości U w taki sam sposób jak grubość warstwy. W pierwszym przybliżeniu można więc przyjąć, że siła tarcia przy czystym toczeniu jest wprost proporcjonalna do grubości warstwy smarującej. Na rys. 6.106 przedstawiono zmiany współczynnika tarcia, co przy niezależności siły tarcia od obciążenia odpowiada zmianom siły tarcia wraz z parametrem prędkości U.

Rys. 6.107. Rozkład naprężeń w obszarze styku smarowanego elastohydrodynamicznie

Dla celów porównawczych naniesiono na nim zależność otrzymaną na podstawie klasycznej teorii hydrodynamicznej.

Rozkład naprężeń w ciele stałym powstający w warunkach smarowania styku Hertza przedstawiono na rys. 6.107. Krzywe podane na tym rysunku odpowiadają jednakowym wartościom stosunku maksymalnych naprężeń głównych do maksymalnych naprężeń Hertza. Rozkład ten dotyczy czystego toczenia, a niesymetria rozkładu naprężeń względem osi V jest wywołana istnieniem rozkładu ciśnienia dynamicznego w cieczy.

Przedstawione wyniki pozwalają określić ogólne prawidłowości smarowania elastohydrodynamicznego w sposób następujący:

1) dla danego obciążenia i prędkości toczenia, w zakresie praktycznych wartości, minimalna grubość warstwy elastohydrodynamicznej jest znacznie większa niż wynika to z klasycznej teorii hydrodynamicznej;

2) w zakresie, w którym powierzchnie odkształcają się sprężyście, grubość warstwy elastohydrodynamicznej zależy w niewielkim stopniu od obciążenia;

3) wpływ parametru materiałowego G na grubość warstwy jest tego samego rzędu, co wpływ parametru prędkości U, ponieważ zakres zmienności G jest w praktyce niewielki, dlatego U jest zmienną dominującą;

4) wraz ze wzrostem wartości parametru obciążenia W lub ze zmniejszeniem wartości parametru prędkości U, rozkład ciśnienia w cieczy przesuwa się od rozkładu hydrodynamicznego dla idealnie sztywnych cylindrów w stronę rozkładu Hertza dla suchych cylindrów;

5) dla warunków i materiałów stosowanych w praktyce występuje gwałtowny wzrost wartości ciśnienia po stronie wylotowej;

6) w przypadku czystego toczenia siła tarcia jest niezależna od parametru obciążenia W i zmienia się wraz z parametrem prędkości U w taki sam sposób, jak grubość warstwy smarującej.

Teoria smarowania elastohydrodynamicznego sformułowana przez Grubina określa w postaci bezwymiarowej przewidywaną grubość warstwy smarującej dla danych warunków współpracy stykających się materiałów. Dowson i Higginson przedstawili inną zależność, podobną jednak w ogólnych zarysach do wzoru Grubina, na grubość warstwy smarującej

H =

1,6 G ^0,6 U ^0,7

W ^0,13

(6.358)

Rozbieżności między wynikami Grubina oraz Dowsona i Higginsona, co wynika z budowy wyrażeń, nie przekraczają 20%. Interesujące jest zapisanie wzoru (6.358) za pomocą wielkości mianowanych
h = 1,6 α ^0,6 (η₀ U) ^0,7 E' ^0,03 R ^0,043
W ^0,13 (6.359)

Z wyrażenia tego wynika, że grubość warstwy nieznacznie zależy od obciążenia. Wyjątkowo mały jest także inny wpływ, a mianowicie współczynnika sprężystości wzdłużnej (modułu Younga). Wykładnik 0,03 oznacza, że praktycznie grubość warstwy elastohydrodynamicznej jest niezależna od sprężystości materiału.

Ten teoretyczny wynik potwierdziły doświadczenia, w których współpracowały ze sobą szklana i stalowa tarcza. Doświadczenia te wykazały, że grubość warstwy cieczy powstającej w takim układzie jest prawie identyczna jak pomiędzy tarczami stalowymi w tych samych warunkach pracy. Oczywiście, szerokość strefy styku i rozkład ciśnień zależą w znacznym stopniu od właściwości sprężystych stykających się materiałów.

Stosowanie wzorów na grubość warstwy elastohydrodynamicznej jest ograniczone do przypadków, w których smarowane ciała są metalami, zaś ciecz smarująca podlega wykładniczej zależności lepkości od ciśnienia.

6.10.6. Elastohydrodynamiczne smarowanie przekładni zębatych

Przykładem zastosowania teorii elastohydrodynamicznej do rzeczywistych elementów maszyn może być smarowanie przekładni zębatej walcowej z zębami prostymi o zarysie ewolwentowym. Wnioski z analizy smarowania takiej przekładni przenoszą się po niewielkich modyfikacjach na inne rodzaje przekładni. Analizę tę można uznać za reprezentatywną dla większości przekładni zębatych. Uwzględnienie kinematyki i dynamiki przekładni zębatej w analizie smarowania elastohydrodynamicznego jest zagadnieniem skomplikowanym. Praca przekładni składa się z kolejno po sobie następujących cykli przyporu (zazębiania i wyzębiania). W czasie każdego z cykli następuje zmiana wartości i kierunku siły stycznej, wartości i kierunku prędkości oraz promieni krzywizny w punkcie przyporu. Dlatego teoria określona dla stanu ustalonego nie uwzględnia wszystkich czynników charakteryzujących przebieg procesu smarowania w czasie. Przyjęcie promieni krzywizny stykających się powierzchni oraz ich transformacja na dwa cylindry, a następnie na cylinder i płaszczyznę, odwzorowuje jedynie jeden wybrany punkt przyporu. Podobne ograniczenie dotyczy także prędkości i obciążenia. Z powyższych przyczyn pełna analiza powinna uwzględniać zmiany, jakim podlega warstwa elastohydrodynamiczna wzdłuż odcinka przyporu. Zgodnie z rys. 6.91 odległość pomiędzy osiami kół zębatych wynosi

A = R₁ + R₂

(6.360)

gdzie R₁, R₂ - promienie kół zębatych.

Przełożenie przekładni wyraża się następującym wzorem

i =

ω₁

ω₂

R₂

R₁

(6.361)

gdzie ω₁, ω₂ - prędkości kątowe kot zębatych.

W dalszym ciągu, dla uproszczenia rozważań matematycznych, i zawsze oznaczać będzie liczbę większą od jedności. Indeks l będzie dotyczyć zębnika (koła mniejszego), zaś indeks 2 koła większego

R₁ =

i + 1

;

R₂ =

i A

i +1

(6.362)

Odległość środków cylindrów równoważnych stykowi zębów jest stała i wynosi

(R₁ + R₂) sin ψ

(6.363)

gdzie ψ - kąt przyporu.

Oczywiście promienie krzywizny zębów w punkcie styku, a więc także promienie równoważnych cylindrów zmieniają się wzdłuż odcinka przyporu. Zgodnie z rys. 6.91 zastępczy promień krzywizny dla dowolnej odległości s od środka przyporu można więc określić następująco,

R =

(R₁ sin ψ + s) (R₂ sin ψ - s)

(R₁ + R₂) sin ψ

(6.364)

Prędkości toczenia walców są określone zależnościami

U₁=

π n₁

(R₁ sin ψ + s)

(6.365a)

U₂= π n₂
30 (R₂ sin ψ - s) (6.365b)

Prędkości te są równe prędkościom obwodowym cylindrów równoważnych, co wynika z zasady odwzorowania.
Rys. 6.108. Zmiana zastępczego promienia krzywizny R oraz średniej prędkości toczenia U = ½ (U₁ + U₂) wzdłuż odcinka przyporu

A więc prędkość hydrodynamiczna

U = ½ (U₁ + U₂)=

π n₁

[ R₁ sin ψ - ½ (s -1) ]

(6.366)

Z zależności tej wynika, że jedynie dla i = l prędkość U jest stała wzdłuż całego odcinka przyporu; dla ; i < 1 U jest funkcją chwilowego położenia punktu przyporu na linii przyporu.

Równania (6.366) i (6.367) wskazują na to, że zarówno promień cylindra zastępczego R, jak i prędkość U zależą od chwilowego położenia punktu przyporu. Jeżeli rozważania ograniczyć do określonego materiału kół zębatych (E' = idem) oraz określonej substancji smarującej (a = idem, h_o = idem), to zgodnie ze wzorem (6.359) po pominięciu mało znaczącego wpływu W okaże się, że Uoraz R są jedynymi zmiennymi określającymi grubość warstwy smarującej. Charakter zmian U oraz R wzdłuż odcinka przyporu pokazano na rys. 6.108. Podano tam również przebieg występujących w równaniu (6.338) funkcji U^0,7 oraz R^0,43. Z wykresów tych wynika charakter zmian h wzdłuż linii przyporu. Na rys. 6.109 pokazano przykład takiej zależności dla przekładni o następujących parametrach: odległość osi kół zębatych A = 0,3 m, przełożenie przekładni i = 5.

Rys. 6.109. Zmiana grubości h warstwy smarującej wzdłuż odcinka przyporu;

1 - teoria elastohydrodynamiczna,

2 - teoria hydrodynamiczna

Rys. 6.110. Zmiana grubości h warstwy elastohydrodynamicznej wzdłuż odcinka przyporu dla przekładni o różnych położeniach

Na wykresie tym naniesiono dla porównania krzywą dla idealnie sztywnych zębów i oleju o stałej lepkości.

Cechą charakterystyczną rozkładu grubości warstwy elastohydrodynamicznej wzdłuż linii przyporu są większe grubości warstwy po stronie styku głowy zęba zębnika z powierzchnią zęba współpracującego oraz mniejsze grubości po stronie styku głowy zęba koła większego z powierzchnią zęba zębnika.

Na rys. 6.110 przedstawiono wpływ przełożenia przekładni na rozkład grubości warstwy smarującej wzdłuż odcinka przyporu. Grubość warstwy w środku przyporu, tzn. na kole podziałowym, w przybliżeniu jest stała, niezależnie od przełożenia. Z tego względu grubość ta jest dogodnym parametrem charakterystycznym warstw elastohydrodynamicznych powstających w różnych warunkach pracy przekładni.

Jeśli na kole podziałowym poślizg jest równy zeru, to z warunku tego wynikają następujące zależności na U oraz R

U =

π n₁

R₁sin ψ

π n₁

i A

i + 1

sin ψ

(6.367)

R = i A
(i + 1)² sin ψ (6.368)

Jeżeli

h =

k (η₀ U) ^0,7R ^0,043

W ^0,13

k = 1,6 α ^0,6 E' ^0,03

to grubość warstwy elastohydrodynamicznej na kole podziałowym
h_p = k (Asin ψ )^1,13
W ^0,13 ( η₀ π n₁
30 )^0,7 i ^1,13
(i + 1)^1,56 (6.370)

Rys. 6.111. Zależność grubości h warstwy elastohydrodynamicznej na kole podziałowym od prędkości obrotowej nwiększego koła przekładni zębatej oraz od odległości między osiami kół zębatych

Rys. 6.112. Współczynniki korekcyjne uwzględniające wpływ:
a) lepkości,
b) przełożenia,
c) obciążenia
na grubość h warstwy elastohydrodynamicznej

Na rys. 6.111 przedstawiono zależności grubości warstwy elastohydrodynamicznej na średnicy podziałowej od prędkości obrotowej większego koła i wielkości przekładni dla następujących parametrów: przełożenie przekładni i = l, obciążenie W = 400 kN/m, lepkość substancji smarującej η = 0,075 Pa • s.

Grubość warstwy smarującej uzyskaną z rys. 6.111 dla wyżej wymienionych wartości i, W oraz η_o można wykorzystać do wyznaczenia grubości warstwy powstającej przy innych (niż wyszczególnione powyżej) wartościach przełożenia, obciążenia i lepkości. W tym celu należy grubość warstwy wyznaczoną z rys. 6.112 pomnożyć przez odpowiednie współczynniki korekcyjne, uwzględniające wpływ lepkości, przełożenia i obciążenia. Uzyskaną w ten sposób wartość należy porównać z chropowatością powierzchni. Pozwala to ocenić efektywność, z jaką warstwa elastohydrodynamiczna oddziela od siebie współpracujące powierzchnie zębów.

Literatura

Rozdział 6 i 7. Tarcie płynne i mieszane

Hayward A. T. J.: The Viscosity of Bubbly Oil. J. Inst. Petr. 1962 vol. 48 Mai pp. 156-164
Hafschek E.: The Viscosity of Liquds. London: Bell and Sons 1928
Sobańska K.: Lepkość olejów i ich mieszanek. Technika smarownicza 1972 t. 3 s. 25-32
Vogel H.: Das Temperaturabhangigkeitgesetz der Viskosität von Flüssigkeiten. Physik Z. 1921 B. 22 s. 645-646
Rost W.: Das Viscosität-Temperatur-Verhalten von Flüsigkeiten. Koloid Z. 1955 B. 142 s. 132-150
Erk S., Eck H.: Über die Temperaturabhängigkeit der Zähigkeit von Schmierölen. Physik Z. 1936 B. 37 s. 113-119
Cameron A.: Determination of the Pressure-Viscosity-Coefficient. J. Inst. Petr. 1945 vol. 31 pp. 401-414
Cameron A.: Principles of Lubrication. Longmans Green a not Co London 1966
Rost W.: Das Viskosität-Temperatur-Verhalten von Schmierölen. Erdöl u. Kohle 1955 B. 8 S. 468-473, 549-552, 650-651, 718-722
Rumpf K. K.: Bestimmung der Konstante der Walther-Funktion auf graphischen Wege. Schmierungstechnik 1971 Nr 4 S. 157-161
Rumpf K. K.: Die Abhängigkeit der Viskosität-Temperatur-Steilheitsfunktionen und der Siedepunkte definierter Kohlenwasserstoffe von ihrer Viskosität. Erdöl u. Kohle 1967 B. 20 S. 276--286
Rumpf K. K.: System Visplan. Erdöl u. Erdgas Z. 1969 B. 85 S. 313-321
Pressure - Viscosity Report. Vol. I i II. A Report of the ASME Research Committee on Lubrication New York 1953
Schnurmann R.: Calculating Viscosity Index Between VI = O and VI = 30. J. Inst. Petr. 1966 vol. 52 pp. 312-313
Stech W.: Zur Kennzeiehnung der Temperaturbhängigkeit der Viskosität von Schmierstoffen. Schmiertechnik 1969 B. 16 S. 157-158
Witt K.: Wie weit ermoglichen Messungen von Druck Temperatur und Viskosität bis zu hohen Driicken die Vorausberechnung der Gebrauch-Viskosität? Schmiertechnik 1974 B. 21 S. 145--148
Hätte F.: Analitische Darstellung der Viskosität von Flüssigkeiten abhängig von Temperatur und Drück. Schmiertechnik 1974 B. 21 S. 55-60
Hollinghurst R., Singleton A.: Viscosity and Engine Performance J. Inst. Petr. 1969 vol. 55 pp. 205-218
Denis J., Parc G.: Rheological Limits of Mineral and Synthetic Hydrocarbon Base Stocks. J. Inst. Petr. 1973 vol. 59 pp. 70-83
Stolle H.: Ein Verfahren zur rechnerischen Ermittiung der Mischungsverhältnisse... Erdöl . Kohle 1965 B. 18 S. 801-802
Hememan W., Aaron C.: Kritische Bewertung von Untersuchungs-Methoden für das Kältefließerhalten vor Mitteldestiiaten. Erdöl u. Kohle 1972 B. 25 S. 32-38
Klaus E. E., Johnson R. H., Fresco G. P.: Development of a Precision Capilary - Type - Pressure Viscometer. ASLE Trans. 1966 vol. 9 pp. 114-120.
Chu P. S. Y., Cameron A.: Pressure Viscosity Characteristics of Lubricating Oils. J. Inst. Petr. 1962 vol. 48 pp. 148-155
Horsey M. D., Hopkins R. F.: Viscosity of Lubricants under Pressure Report to ASME Res. Comm. on Lubrication 1954
Noack G.: Zur Erfassung der Viskositäts-Temperatur-Abhängigkeit von Schmierölen durch die Vogelsche Gleichung. Schmiertechnik 1973 B. 20 S. 74-80
Eberan-Eberhorst G. A., Weise E.: Die Bedeutung der Viskositäts-Temperatur-Charakteristik von Ein-und Mehrbereichsmotorenölen im praktischen Betrieb. Erdöl u. Kohle 1973 B. 26 S. 93-101
Kuss E.: Viskosität-Druckverhalten von flüsigen Methyl-Phenyl und Cyclohexylmethyl-Siloxanen. Erdöl u. Kohle 1974 B. 27 S. 416-422
Gottner G. H.: Über die Kenzahlen fiir das Viskositäts-Temperatur-Verhalten von Schmierstoffen. Leipzig 1949
Kuss E.: Hochdruckuntersuchungen. Die Viskosität von Komprimierten Flüssigkeiten. Z. Angew. Phys. 1955 B. 5 S. 372-378
Kuss E.: Zur Frage des Viscositäts-Druckverhaltens von Öl. Erdöl Zeitschrift 1962 B. 78 S. 678-686
Kuss E., Pollmann P.: Viskositäts-Druckabhängigkeit und Verzweigungsgrad flüssiger Alkane. Z. Phys. Chem. 1969 B. 68 S. 205-212
Koelber H., Siemens W., Luther H.: Viskositätseigenschaften als Funktion des Molekulargewichts in homologen Kohlenwasserstoffreihen. Brennstofi. Chem. 1949 B. 30 S. 362-371
Mikeska L. A.: Chemical Structure of Lubricating Oils. Ind. Eng. Chem. 1936 vol. 28 pp. 970-984
Luther H.: Die Viscosität reiner Kohlenwasserstoffe. Angew. Chemie 1949 A-61 S. 405-406
Dean E., Davis G. H. B.: Viscosity Variations of Oils with Temperature. Chem. and Met. Eng. 1929 vol. 36 pp. 618-619
Hardiman E., Nissan A. H.: A Rational Basis for the Viscosity index System. Journ. Inst. Petr. 1945 vol. 31 pp. 255-270
Ramser J. H.: Representation of Viscosity-Temperature Characteries of Lubrication Oils. Ind. Eng. Chem. 1949 vol. 41 pp. 3053-2059
Walther C.: Das Viskositäts-Temperatur-Diagramm. Petroleum 1930 B. 26 S. 755-757
Piłat S., Piłat E.: Properties of Synthetic Lubricating Oils. Cyclics Hydrocarbons With Twenty-two Carbon Atoms per Molecule. Ind. Eng. Chem. 1941 vol. 33 pp. 1382-1390
Piłat S.: Zarys technologii nafty. Lwów: wyd. Bratniej Pomocy 1939
Wachal A.: Materiały pędne i oleje silnikowe. Warszawa: Wyd. MON 1959
Mc Kenzie K.: Polymer Configuration and Shear Stability. Materiały I Europ. Kongresu Trybologicznego. Londyn 1973 pp. 287-295
Wood L. G.: The Change of Viscosity of Oils Containing High Polymers when Subjected to High Rates of Shear. Brit. J. Appl. Phys. 1950 pp. 202-206
Thomas J. R.: Sonic Degradation of High Polymers in Salutions Journ. Polymer Sci. 1959 vol. 63 pp. 1725-1729
Crail I. R., Neville A. L.: The Mechanical Shear Stability of Polymeric VI. Improvers. J. Inst. Petr. 1969 vol. 55 pp. 100-108
Gisser H., Petronio M.: Friction of Polymer Solution. ASLE Transact. 1967 vol. 10 pp. 58-66
Семенидо Е. Г., Щеголев Н. В.: Вязкостные присадки. В збёре: Моторные и реактывне масла и жидкости. Москва: Изд. Химия 1963
Bartz W. S.: Zagadnienie stabilności i odporności na ścinanie nowoczesnych wielosezonowych olejów silnikowych. Technika Smarownicza 1973 t. 4 s. 140-146
Wilkinson W. L.: Ciecze nienewtonowskie. Warszawa: WNT 1963
Freund M., Mozes G., Fenyi M.: Rheologische Eigenschaften der mit Polymer-Zusatz legierten Motoren-Schmieröle. Schmiertechnik 1963 B. 10 S. 136-142, 208-214, 345-350, 1964 B. 11 S. 95-99, 151-156, 217-219, 356-361
Wiślicki B.: Metody oceny odporności olejów smarowych i cieczy hydraulicznych na działanie mechanicznych sił ścinających. Referat wygłoszony w NOT 14.05.1968
Wiślicki B., Karpiński W.: Ultraschallmethode als Auswertung der Widerstandfähigkeit der Schmier und Hydrauliköle gegen mechanische Scherkrafte. Referat na 9 Sympozjum „Schmierstoffe” Lipsk sierpień 1967
Heymach H. J., Jost D. E.: Alteration of Molecular Weight Distribution of Polymers by Ultrasonic Energy. Journ. Polymer Sci. 1969 vol. 25 pp. 145-153
Butyagin P. J.: Nature of Mechanical Degradation of Polymethacrylate. Journ. Polym. Sci. 1967 vol. 34 No. l pp. 28-35
Porter R. S., Cantow M. J., Jolmson J. F.: Sonic Degradation of Polyisobutene in Solution Journ. Appl. Phys. 1964 vol. 35 pp. 15-18
Pinkus O., Sterniicht B.: Theory of Hydrodynamic Lubrication. New York: Mc Graw Hill 1961
Колмогоров В. Л., Орлов С. И., Колмогоров Т. Л.: Гидродинамическая подача смазки. Москва: Металургйя 1975
Розенберг И. А.: Влияние смазочных масел на надёжность и долговечность машин. Москва: Машиностроение 1970
Петрусевич А. И.: Основные выводы из контактногидродинамйческой теории смазки. Изд. АН СССР ОТН 1951 № 2 с. 32-38
Peppler W.: Die Theorie der hydrodynamischen Schmierung. VDI Berichte 1957 B. 20 S. 150-158
Reynolds O.: On the theory of lubrication and its application to Mr Beauchamp Tower's experiments. Phil. Trans. Roy. Soc. 1886 vol. 177 part l pp. 153-368
Sterniicht B.: Energy and Reynolds Considerations in Trust-bearing Analysis. Proc. of Conf. on Lubr. and Wear IME 1957
Cameron A., Wood L.: The Full Journal Bearing Proc. Inst. Mech. Eng. 1940 vol. 161 pp. 559-565
Milne-Thomson L. M.: Theoretical Hydrodynamics London: MacMillan 1949
Morgan T. V., Cameron A.: Mechanism of Lubrication in Porous Metal Bearings. Conf. on Lubrication and Wear. Paper 89. London 1957
Sternlicht B., Maginnis F. J.: Application of Digital Computers to Bearings Design. Trans. ASME 1957 No 10 pp. 359-364
Dowson D., Higginson G. R.: Elastohydrodynamic Lubrication. London: Pergamon Press 1966
Shell Intern. Co: The Lubrication of Industrial Gears. London: Shell 1964
Ynh-Hwang Tsao, Kin N. Zang.: A Model for Mixed Lubrication. ASLE Transactions 1975 vol. 18, No. 2 pp. 52-58

6. Tarcie płynne

Contents

6.1. Smarowanie przy różnych rodzajach tarcia

6.2. Własności reologiczne ciekłych substancji smarnych

6.2.1. Ciecze newtonowskie i nienewtonowskie

6.2.2. Jednostki lepkości

6.2.3. Pomiary lepkości

6.2.4. Zależność lepkości od ciśnienia

6.2.5. Zależność lepkości od temperatury

6.2.6. Zależność lepkości olejów od ich budowy chemicznej

6.2.7. Lepkość mieszanin

6.2.8. Lepkość emulsji i zawiesin

6.2.9. Lepkość olejów zapowietrzonych

6.2.10. Dodatki zwiększające lepkość i wskaźnik lepkości oleju (wiskozatory)

6.2.11. Eksploatacyjne znaczenie lepkości

6.3. Smarowanie hydrodynamiczne

6.4. Podstawowe równania tarcia płynnego

6.4.1. Równanie Naviera-Stokesa

6.4.2. Uogólnione równanie Reynoldsa

6.4.3. Równania przepływu i ścinania

6.4.4. Równanie energii

6.4.5. Równanie stanu

6.5. Metody rozwiązywania równań Reynoldsa smarowania hydrodynamicznego

6.5.1. Metoda analityczna

6.5.2. Metoda numeryczna

6.5.3. Metody analogowe

6.5.4. Wyniki analizy smarowania hydrodynamicznego

6.6. Łożyska poprzeczne i wzdłużne smarowane hydrodynamicznie

6.6.1. Łożyska poprzeczne jednowymiarowe

6.6.2. Łożysko nieskończenie krótkie

6.6.3. Łożysko z niepełną panwią

6.6.4. Łożysko ściśle pasowane

6.6.5. Łożysko z pływającym pierścieniem

6.6.6. Łożysko porowate

6.6.7. Łożyska wzdłużne jednowymiarowe

6.7. Smarowanie hydrostatyczne

6.7.1. Zasada smarowania hydrostatycznego

6.7.2. Łożysko ślizgowe poprzeczne

6.7.3. Łożysko ślizgowe wzdłużne

6.8. Smarowanie gazodynamiczne

6.9. Smarowanie gazostatyczne

6.10. Smarowanie elastohydrodynamiczne

6.10.1. Zasada smarowania elastohydrodynamicznego

6.10.2. Geometria styku kontaktowego

6.10.3. Smarowanie hydrodynamiczne obszaru styku kontaktowego

6.10.4. Elastohydrodynamiczna teoria smarowania

6.10.5. Analiza wymiarowa smarowania elastohydrodynamicznego

6.10.6. Elastohydrodynamiczne smarowanie przekładni zębatych

Powrót do strony głównej „Trybologia”

1. Trybologia
2. Podstawy procesów tarcia
3. Warstwa wierzchnia elementów maszyn
4. Tarcie ciał stałych
5. Tarcie graniczne
6. Tarcie płynne

6.5. Metody rozwiązywania równań Reynoldsa smarowania hydrodynamicznego

7. Tarcie mieszane
8. Zużycie trybologiczne
9. Badania trybologiczne

Last modified:
21-01-2005

All rights reserved
© Wszystkie prawa zastrzeżone

6.5. Metody rozwiązywania równań Reynoldsa smarowania hydrodynamicznego

6.5.1. Metoda analityczna

6.5.2. Metoda numeryczna

6.5.3. Metody analogowe

6.5.4. Wyniki analizy smarowania hydrodynamicznego

Tablica 6.10. Optymalne warunki pracy łożysk ściśle pasowanych

6.6. Łożyska poprzeczne i wzdłużne smarowane hydrodynamicznie

6.6.1. Łożyska poprzeczne jednowymiarowe

6.6.2. Łożysko nieskończenie krótkie

6.6.3. Łożysko z niepełną panwią

6.6.4. Łożysko ściśle pasowane

6.6.5. Łożysko z pływającym pierścieniem

6.6.6. Łożysko porowate

6.6.7. Łożyska wzdłużne jednowymiarowe

6.7. Smarowanie hydrostatyczne

6.7.1. Zasada smarowania hydrostatycznego

6.7.2. Łożysko ślizgowe poprzeczne

6.7.3. Łożysko ślizgowe wzdłużne

6.8. Smarowanie gazodynamiczne

Tablica 6.11. Charakterystyki łożyska ślizgowego z uwzględnieniem ściśliwości oleju

6.9. Smarowanie gazostatyczne

6.10. Smarowanie elastohydrodynamiczne

6.10.1. Zasada smarowania elastohydrodynamicznego

Tablica 6.12. Porównanie nośności warstw smarujących

6.10.2. Geometria styku kontaktowego

6.10.3.Smarowanie hydrodynamiczne obszaru styku kontaktowego

6.10.4. Elastohydrodynamiczna teoria smarowania

6.10.5. Analiza wymiarowa smarowania elastohydrodynamicznego

Tablica 6.13. Charakterystyka bezwymiarowych parametrów określających proces smarowania elastohydrodynamicznego

6.10.6. Elastohydrodynamiczne smarowanie przekładni zębatych

Literatura

Rozdział 6 i 7. Tarcie płynne i mieszane